Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicclub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicclub2 12194
 Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
supicclub2.1 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
Assertion
Ref Expression
supicclub2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2
StepHypRef Expression
1 supicclub2.1 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
2 supicc.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
3 iccssxr 12127 . . . . . . . 8 (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
42, 3syl6ss 3580 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
54sselda 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
6 supiccub.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐴)
74, 6sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
9 xrlenlt 9982 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
105, 8, 9syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
111, 10mpbid 221 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
1211nrexdv 2984 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧)
13 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
14 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 supicc.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
1613, 14, 2, 15, 6supicclub 12193 . . 3 (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧))
1712, 16mtbird 314 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
1813, 14, 2, 15supicc 12191 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
193, 18sseldi 3566 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
20 xrlenlt 9982 . . 3 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
2119, 7, 20syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
2217, 21mpbird 246 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-icc 12053 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator