Theorem xrlenlt 6670

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals.

Assertion

Ref	Expression
xrlenlt	|- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A <_ B <-> -. B < A))

Proof of Theorem xrlenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4040	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> <.A, B>. e. (RR* X. RR*))
2		df-le 6658	. . . . . . 7 |- <_ = ((RR* X. RR*) \ `' < )
3	2	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. <_ <-> <.A, B>. e. ((RR* X. RR*) \ `' < ))
4		eldif 2609	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. ((RR* X. RR*) \ `' < ) <-> (<.A, B>. e. (RR* X. RR*) /\ -. <.A, B>. e. `' < ))
5	3, 4	bitri 190	. . . . 5 |- (<.A, B>. e. <_ <-> (<.A, B>. e. (RR* X. RR*) /\ -. <.A, B>. e. `' < ))
6	5	baib 749	. . . 4 |- (<.A, B>. e. (RR* X. RR*) -> (<.A, B>. e. <_ <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
7	1, 6	syl 12	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (<.A, B>. e. <_ <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
8		df-br 3339	. . 3 |- (A <_ B <-> <.A, B>. e. <_ )
9	7, 8	syl5bb 591	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A <_ B <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
10		opelcnvg 4140	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (<.A, B>. e. `' < <-> <.B, A>. e. < ))
11		df-br 3339	. . . 4 |- (B < A <-> <.B, A>. e. < )
12	10, 11	syl6rbbr 598	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (B < A <-> <.A, B>. e. `' < ))
13	12	notbid 673	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. B < A <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
14	9, 13	bitr4d 590	1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A <_ B <-> -. B < A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   \ cdif 2590  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  `'ccnv 3985   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653

This theorem is referenced by:  xrltnle 6671  lenlt 6679  pnfge 6723  mnfle 6724  xrleloe 6732  supxr2 7291  supxrbnd 7300  supxrbnd1 7304  supxrbnd2 7305  supxrub 7307  supxrleub 7308  ioon0 7536  nmlnogt0 9797  dffprod 14670  nelioo5 14856  iintlem1 15010  letri31 15019  supnuf 15041  supexr 15043  ccid 15363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-le 6658

Copyright terms: Public domain