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Theorem ivthlem3 23029
 Description: Lemma for ivth 23030, the intermediate value theorem. Show that (𝐹‘𝐶) cannot be greater than 𝑈, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivth.10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
ivth.11 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
ivthlem3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹𝐶) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 ivth.10 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
3 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
42, 3eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5 ivth.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 ivth.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12126 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
94, 8syl5ss 3579 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
10 ivth.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
11 ivth.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12 ivth.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
13 ivth.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
15 ivth.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 23027 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
1716simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
18 ne0i 3880 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
2016simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵)
21 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧𝑥𝑧𝐵))
2221ralbidv 2969 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧𝑆 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
2322rspcev 3282 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
246, 20, 23syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
259, 19, 243jca 1235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
26 suprcl 10862 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
281, 27syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2915simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) < 𝑈)
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 23028 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)
3113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
32 suprub 10863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3325, 17, 32syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3433, 1syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐶)
35 suprleub 10866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3625, 6, 35syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3720, 36mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
381, 37syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶𝐵)
39 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
405, 6, 39syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1238 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4212, 41sseldd 3569 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐷)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → 𝐶𝐷)
4414ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
45 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
4645eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐶) ∈ ℝ))
4746rspcv 3278 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐶) ∈ ℝ))
4841, 44, 47sylc 63 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
49 difrp 11744 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → (𝑈 < (𝐹𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+))
5010, 48, 49syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+))
5150biimpa 500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+)
52 cncfi 22505 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) ∧ 𝐶𝐷 ∧ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)))
5331, 43, 51, 52syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)))
54 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
5512, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
5655ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
5728ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
58 ltsubrp 11742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < 𝐶)
5957, 58sylancom 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < 𝐶)
6059, 1syl6breq 4624 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ))
6125ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
62 rpre 11715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
6457, 63resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) ∈ ℝ)
65 suprlub 10864 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ (𝐶𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦))
6661, 64, 65syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦))
6760, 66mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦)
684sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6968ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
70 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝜑)
7170, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7271, 69sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
7370, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7470, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
75 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦𝑆)
76 suprub 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
7774, 75, 76syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
7877, 1syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦𝐶)
7972, 73, 78abssuble0d 14019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦𝐶)) = (𝐶𝑦))
8063adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
81 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐶𝑧) < 𝑦)
8273, 80, 72, 81ltsub23d 10511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐶𝑦) < 𝑧)
8379, 82eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧)
8469, 83, 75jca32 556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
8584ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆))))
8685reximdv2 2997 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆))
88 r19.29 3054 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
89 pm3.45 875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆)))
9089imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆))
9168ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9244ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
93 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
9493eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
9594rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
9691, 92, 95sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
9748ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
9810ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑈 ∈ ℝ)
9997, 98resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ)
10096, 97, 99absdifltd 14020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ↔ (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + ((𝐹𝐶) − 𝑈)))))
10197recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
10298recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑈 ∈ ℂ)
103101, 102nncand 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) = 𝑈)
104103breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑦)))
10593breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
106105, 2elrab2 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
107106simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝑆 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈)
108107ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈)
10996, 98lenltd 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝑦) ≤ 𝑈 ↔ ¬ 𝑈 < (𝐹𝑦)))
110108, 109mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝑦))
111110pm2.21d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝑈 < (𝐹𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
112104, 111sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
113112adantrd 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + ((𝐹𝐶) − 𝑈))) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
114100, 113sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
115114expr 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑆 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
116115com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → (𝑦𝑆 → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
117116impd 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
11990, 118syl5 33 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
120119rexlimdva 3013 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12188, 120syl5 33 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12287, 121mpan2d 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12356, 122syld 46 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
124123rexlimdva 3013 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12553, 124mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))
126125pm2.01da 457 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))
12748, 10lttri3d 10056 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) = 𝑈 ↔ (¬ (𝐹𝐶) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
12830, 126, 127mpbir2and 959 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) = 𝑈)
12929, 128breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶))
13048ltnrd 10050 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶))
131 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐴))
132131breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
133132notbid 307 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶) ↔ ¬ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
134130, 133syl5ibcom 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 = 𝐴 → ¬ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
135134necon2ad 2797 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → 𝐶𝐴))
136135, 34jctild 564 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
1375, 28ltlend 10061 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
138136, 137sylibrd 248 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
139129, 138mpd 15 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
14015simprd 478 . . . . 5 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐵))
141128, 140eqbrtrd 4605 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵))
142 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐶))
143142breq2d 4595 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
144143notbid 307 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → (¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
145130, 144syl5ibrcom 236 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
146145necon2ad 2797 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐵𝐶))
147146, 38jctild 564 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
14828, 6ltlend 10061 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
149147, 148sylibrd 248 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
150141, 149mpd 15 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐵)
1515rexrd 9968 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1526rexrd 9968 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
153 elioo2 12087 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
154151, 152, 153syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
15528, 139, 150, 154mpbir3and 1238 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
156155, 128jca 553 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹𝐶) = 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  abscabs 13822  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-cncf 22489 This theorem is referenced by:  ivth  23030
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