Theorem ivthlem3 21616

Description: Lemma for ivth 21617, the intermediate value theorem. Show that ( F ` C ) cannot be greater than U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivth.10	|- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
ivth.11	|- C = sup ( S , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
ivthlem3	|- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, F   ph, x   x, A   x, C   x, S   x, U

Proof of Theorem ivthlem3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.11	. . . 4 |- C = sup ( S , RR , < )
2		ivth.10	. . . . . . . 8 |- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
3		ssrab2 3585	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U } C_ ( A [,] B )
4	2, 3	eqsstri 3534	. . . . . . 7 |- S C_ ( A [,] B )
5		ivth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
6		ivth.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
7		iccssre 11605	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
8	5, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
9	4, 8	syl5ss 3515	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ RR )
10		ivth.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. RR )
11		ivth.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
12		ivth.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
13		ivth.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
14		ivth.8	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
15		ivth.9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
16	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2	ivthlem1 21614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A e. S /\ A. z e. S z <_ B ) )
17	16	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. S )
18		ne0i 3791	. . . . . . 7 |- ( A e. S -> S =/= (/) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= (/) )
20	16	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. S z <_ B )
21		breq2 4451	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( z <_ x <-> z <_ B ) )
22	21	ralbidv 2903	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( A. z e. S z <_ x <-> A. z e. S z <_ B ) )
23	22	rspcev 3214	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A. z e. S z <_ B ) -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
24	6, 20, 23	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
25	9, 19, 24	3jca 1176	. . . . 5 |- ( ph -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
26		suprcl 10502	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
27	25, 26	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
28	1, 27	syl5eqel 2559	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
29	15	simpld 459	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) < U )
30	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1	ivthlem2 21615	. . . . . 6 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < U )
31	13	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> F e. ( D -cn-> CC ) )
32		suprub 10503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ A e. S ) -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
33	25, 17, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
34	33, 1	syl6breqr 4487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ C )
35		suprleub 10506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ B e. RR ) -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
36	25, 6, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
37	20, 36	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) <_ B )
38	1, 37	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C <_ B )
39		elicc2 11588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
40	5, 6, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41	28, 34, 38, 40	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
42	12, 41	sseldd 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. D )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> C e. D )
44	14	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
45		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = C -> ( F ` x ) = ( F ` C ) )
46	45	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = C -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` C ) e. RR ) )
47	46	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` C ) e. RR ) )
48	41, 44, 47	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
49		difrp 11252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. RR /\ ( F ` C ) e. RR ) -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
51	50	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ )
52		cncfi 21149	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ C e. D /\ ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
53	31, 43, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
54		ssralv 3564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A [,] B ) C_ D -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
55	12, 54	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
57	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> C e. RR )
58		ltsubrp 11250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. RR /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
59	57, 58	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
60	59, 1	syl6breq 4486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) )
61	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
62		rpre 11225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. RR+ -> z e. RR )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> z e. RR )
64	57, 63	resubcld 9986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) e. RR )
65		suprlub 10504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ ( C - z ) e. RR ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
66	61, 64, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
67	60, 66	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. S ( C - z ) < y )
68	4	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> y e. ( A [,] B ) )
69	68	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
70		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ph )
71	70, 8	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
72	71, 69	sseldd 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. RR )
73	70, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> C e. RR )
74	70, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
75		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. S )
76		suprub 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ y e. S ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
78	77, 1	syl6breqr 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ C )
79	72, 73, 78	abssuble0d 13226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( C - y ) )
80	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> z e. RR )
81		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - z ) < y )
82	73, 80, 72, 81	ltsub23d 10156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - y ) < z )
83	79, 82	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) < z )
84	69, 83, 75	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
85	84	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) ) )
86	85	reximdv2 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. S ( C - z ) < y -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
87	67, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) )
88		r19.29 2997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
89		pm3.45 832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) ) )
90	89	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) )
91	68	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
92	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
93		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
94	93	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` y ) e. RR ) )
95	94	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` y ) e. RR ) )
96	91, 92, 95	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
97	48	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. RR )
98	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. RR )
99	97, 98	resubcld 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR )
100	96, 97, 99	absdifltd 13227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) ) )
101	97	recnd 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
102	98	recnd 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. CC )
103	101, 102	nncand 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) = U )
104	103	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) <-> U < ( F ` y ) ) )
105	93	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ U <-> ( F ` y ) <_ U ) )
106	105, 2	elrab2 3263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. S <-> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( F ` y ) <_ U ) )
107	106	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. S -> ( F ` y ) <_ U )
108	107	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) <_ U )
109	96, 98	lenltd 9729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` y ) <_ U <-> -. U < ( F ` y ) ) )
110	108, 109	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` y ) )
111	110	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( U < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
112	104, 111	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
113	112	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
114	100, 113	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
115	114	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( y e. S -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
116	115	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> ( y e. S -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
117	116	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
118	117	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
119	90, 118	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
120	119	rexlimdva 2955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
121	88, 120	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
122	87, 121	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
123	56, 122	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
124	123	rexlimdva 2955	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
125	53, 124	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> -. U < ( F ` C ) )
126	125	pm2.01da 442	. . . . . 6 |- ( ph -> -. U < ( F ` C ) )
127	48, 10	lttri3d 9723	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) = U <-> ( -. ( F ` C ) < U /\ -. U < ( F ` C ) ) ) )
128	30, 126, 127	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` C ) = U )
129	29, 128	breqtrrd 4473	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` A ) < ( F ` C ) )
130	48	ltnrd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) )
131		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> ( F ` C ) = ( F ` A ) )
132	131	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
133	132	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
134	130, 133	syl5ibcom 220	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = A -> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
135	134	necon2ad 2680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> C =/= A ) )
136	135, 34	jctild 543	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
137	5, 28	ltlend 9728	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
138	136, 137	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> A < C ) )
139	129, 138	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A < C )
140	15	simprd 463	. . . . 5 |- ( ph -> U < ( F ` B ) )
141	128, 140	eqbrtrd 4467	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( F ` B ) )
142		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( F ` B ) = ( F ` C ) )
143	142	breq2d 4459	. . . . . . . . 9 |- ( B = C -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
144	143	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( B = C -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
145	130, 144	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B = C -> -. ( F ` C ) < ( F ` B ) ) )
146	145	necon2ad 2680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> B =/= C ) )
147	146, 38	jctild 543	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
148	28, 6	ltlend 9728	. . . . 5 |- ( ph -> ( C < B <-> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
149	147, 148	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> C < B ) )
150	141, 149	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> C < B )
151	5	rexrd 9642	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR* )
152	6	rexrd 9642	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR* )
153		elioo2 11569	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
154	151, 152, 153	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
155	28, 139, 150, 154	mpbir3and 1179	. 2 |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
156	155, 128	jca 532	1 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   supcsup 7899   CCcc 9489   RRcr 9490   + caddc 9494   RR*cxr 9626   < clt 9627   <_ cle 9628   - cmin 9804   RR+crp 11219   (,)cioo 11528   [,]cicc 11531   abscabs 13029   -cn->ccncf 21131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-ioo 11532  df-icc 11535  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-cncf 21133

This theorem is referenced by:  ivth  21617