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Theorem ivthlem3 22403
Description: Lemma for ivth 22404, the intermediate value theorem. Show that  ( F `  C ) cannot be greater than  U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivth.10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
ivth.11  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ivthlem3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, F    ph, x    x, A    x, C    x, S    x, U

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 ivth.10 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
3 ssrab2 3546 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  ( F `
 x )  <_  U }  C_  ( A [,] B )
42, 3eqsstri 3494 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( A [,] B )
5 ivth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 ivth.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11724 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
94, 8syl5ss 3475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
10 ivth.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
11 ivth.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  B )
12 ivth.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
13 ivth.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
14 ivth.8 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
15 ivth.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 22401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
1716simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
18 ne0i 3767 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2016simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  z  <_  B )
21 breq2 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  B ) )
2221ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  S  z  <_  x  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
2322rspcev 3182 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. z  e.  S  z  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
246, 20, 23syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
259, 19, 243jca 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x ) )
26 suprcl 10577 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2725, 26syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
281, 27syl5eqel 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2915simpld 460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  U )
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 22402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
3113adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  F  e.  ( D -cn-> CC ) )
32 suprub 10578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3325, 17, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3433, 1syl6breqr 4464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
35 suprleub 10581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3625, 6, 35syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3720, 36mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B )
381, 37syl5eqbr 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
39 elicc2 11707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
405, 6, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4212, 41sseldd 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4342adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  C  e.  D )
4414ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
45 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
4645eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  C  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4746rspcv 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4841, 44, 47sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
49 difrp 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  RR )  -> 
( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5010, 48, 49syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5150biimpa 486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( ( F `  C )  -  U )  e.  RR+ )
52 cncfi 21925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  C  e.  D  /\  (
( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
5331, 43, 51, 52syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
54 ssralv 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5512, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5655ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5728ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
58 ltsubrp 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( C  -  z
)  <  C )
5957, 58sylancom 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  C )
6059, 1syl6breq 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
6125ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
62 rpre 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
6362adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  z  e.  RR )
6457, 63resubcld 10055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  e.  RR )
65 suprlub 10579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  ( C  -  z )  e.  RR )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6661, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6760, 66mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  S  ( C  -  z )  < 
y )
684sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
6968ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
70 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ph )
7170, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
7271, 69sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  RR )
7370, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  C  e.  RR )
7470, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
75 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  S )
76 suprub 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7774, 75, 76syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7877, 1syl6breqr 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  C )
7972, 73, 78abssuble0d 13495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  =  ( C  -  y ) )
8063adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  z  e.  RR )
81 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  z )  < 
y )
8273, 80, 72, 81ltsub23d 10226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  y )  < 
z )
8379, 82eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z
)
8469, 83, 75jca32 537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  /\  y  e.  S ) ) )
8584ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) ) ) )
8685reximdv2 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y  ->  E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )
) )
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )
88 r19.29 2960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) ) )
89 pm3.45 842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
) )
9089imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
)
9168ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
9244ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR )
93 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9493eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9594rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9691, 92, 95sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
9748ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  RR )
9810ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  RR )
9997, 98resubcld 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  U
)  e.  RR )
10096, 97, 99absdifltd 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( ( F `  C )  -  U ) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <  ( ( F `  C )  +  ( ( F `  C
)  -  U ) ) ) ) )
10197recnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
10298recnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  CC )
103101, 102nncand 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  (
( F `  C
)  -  U ) )  =  U )
104103breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  <->  U  <  ( F `  y ) ) )
10593breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  U  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
106105, 2elrab2 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  y )  <_  U
) )
107106simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  <_  U )
108107ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  <_  U )
10996, 98lenltd 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  <_  U  <->  -.  U  <  ( F `
 y ) ) )
110108, 109mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 y ) )
111110pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( U  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
112104, 111sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
113112adantrd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( ( F `  C )  -  ( ( F `
 C )  -  U ) )  < 
( F `  y
)  /\  ( F `  y )  <  (
( F `  C
)  +  ( ( F `  C )  -  U ) ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
114100, 113sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
115114expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  S  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) ) )
116115com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  -> 
( y  e.  S  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) ) )
117116impd 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
118117adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U )  /\  y  e.  S
)  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
11990, 118syl5 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
120119rexlimdva 2914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12188, 120syl5 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12287, 121mpan2d 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12356, 122syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
124123rexlimdva 2914 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
12553, 124mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) )
126125pm2.01da 443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  U  <  ( F `  C )
)
12748, 10lttri3d 9783 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  =  U  <-> 
( -.  ( F `
 C )  < 
U  /\  -.  U  <  ( F `  C
) ) ) )
12830, 126, 127mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  =  U )
12929, 128breqtrrd 4450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  ( F `  C ) )
13048ltnrd 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C )
)
131 fveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  A  ->  ( F `  C )  =  ( F `  A ) )
132131breq1d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
133132notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C
) ) )
134130, 133syl5ibcom 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  A  ->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
135134necon2ad 2633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  C  =/=  A ) )
136135, 34jctild 545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A
) ) )
1375, 28ltlend 9788 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A ) ) )
138136, 137sylibrd 237 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  A  <  C ) )
139129, 138mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  C )
14015simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
141128, 140eqbrtrd 4444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  <  ( F `  B ) )
142 fveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  C  ->  ( F `  B )  =  ( F `  C ) )
143142breq2d 4435 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  ( F `  C )  <  ( F `  C )
) )
144143notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C
) ) )
145130, 144syl5ibrcom 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
146145necon2ad 2633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  B  =/=  C ) )
147146, 38jctild 545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C
) ) )
14828, 6ltlend 9788 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  <  B  <->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C ) ) )
149147, 148sylibrd 237 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
150141, 149mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <  B )
1515rexrd 9698 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1526rexrd 9698 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
153 elioo2 11685 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
154151, 152, 153syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
15528, 139, 150, 154mpbir3and 1188 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
156155, 128jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   supcsup 7964   CCcc 9545   RRcr 9546    + caddc 9550   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   RR+crp 11310   (,)cioo 11643   [,]cicc 11646   abscabs 13298   -cn->ccncf 21907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-sup 7966  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-rp 11311  df-ioo 11647  df-icc 11650  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-cncf 21909
This theorem is referenced by:  ivth  22404
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