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Theorem ivthlem3 21991
Description: Lemma for ivth 21992, the intermediate value theorem. Show that  ( F `  C ) cannot be greater than  U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivth.10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
ivth.11  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ivthlem3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, F    ph, x    x, A    x, C    x, S    x, U

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 ivth.10 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
3 ssrab2 3581 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  ( F `
 x )  <_  U }  C_  ( A [,] B )
42, 3eqsstri 3529 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( A [,] B )
5 ivth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 ivth.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11631 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
94, 8syl5ss 3510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
10 ivth.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
11 ivth.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  B )
12 ivth.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
13 ivth.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
14 ivth.8 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
15 ivth.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 21989 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
1716simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
18 ne0i 3799 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2016simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  z  <_  B )
21 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  B ) )
2221ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  S  z  <_  x  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
2322rspcev 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. z  e.  S  z  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
246, 20, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
259, 19, 243jca 1176 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x ) )
26 suprcl 10523 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
281, 27syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2915simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  U )
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 21990 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
3113adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  F  e.  ( D -cn-> CC ) )
32 suprub 10524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3325, 17, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3433, 1syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
35 suprleub 10527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3625, 6, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3720, 36mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B )
381, 37syl5eqbr 4489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
39 elicc2 11614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
405, 6, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4212, 41sseldd 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4342adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  C  e.  D )
4414ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
45 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
4645eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  C  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4746rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4841, 44, 47sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
49 difrp 11278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  RR )  -> 
( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5010, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5150biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( ( F `  C )  -  U )  e.  RR+ )
52 cncfi 21524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  C  e.  D  /\  (
( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
5331, 43, 51, 52syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
54 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5512, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5728ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
58 ltsubrp 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( C  -  z
)  <  C )
5957, 58sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  C )
6059, 1syl6breq 4495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
6125ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
62 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  z  e.  RR )
6457, 63resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  e.  RR )
65 suprlub 10525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  ( C  -  z )  e.  RR )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6661, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6760, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  S  ( C  -  z )  < 
y )
684sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
6968ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
70 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ph )
7170, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
7271, 69sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  RR )
7370, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  C  e.  RR )
7470, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
75 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  S )
76 suprub 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7774, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7877, 1syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  C )
7972, 73, 78abssuble0d 13276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  =  ( C  -  y ) )
8063adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  z  e.  RR )
81 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  z )  < 
y )
8273, 80, 72, 81ltsub23d 10178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  y )  < 
z )
8379, 82eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z
)
8469, 83, 75jca32 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  /\  y  e.  S ) ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) ) ) )
8685reximdv2 2928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y  ->  E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )
) )
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )
88 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) ) )
89 pm3.45 834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
) )
9089imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
)
9168ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
9244ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR )
93 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9493eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9594rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9691, 92, 95sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
9748ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  RR )
9810ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  RR )
9997, 98resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  U
)  e.  RR )
10096, 97, 99absdifltd 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( ( F `  C )  -  U ) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <  ( ( F `  C )  +  ( ( F `  C
)  -  U ) ) ) ) )
10197recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
10298recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  CC )
103101, 102nncand 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  (
( F `  C
)  -  U ) )  =  U )
104103breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  <->  U  <  ( F `  y ) ) )
10593breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  U  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
106105, 2elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  y )  <_  U
) )
107106simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  <_  U )
108107ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  <_  U )
10996, 98lenltd 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  <_  U  <->  -.  U  <  ( F `
 y ) ) )
110108, 109mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 y ) )
111110pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( U  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
112104, 111sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
113112adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( ( F `  C )  -  ( ( F `
 C )  -  U ) )  < 
( F `  y
)  /\  ( F `  y )  <  (
( F `  C
)  +  ( ( F `  C )  -  U ) ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
114100, 113sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
115114expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  S  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) ) )
116115com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  -> 
( y  e.  S  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) ) )
117116impd 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
118117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U )  /\  y  e.  S
)  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
11990, 118syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
120119rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12188, 120syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12287, 121mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12356, 122syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
124123rexlimdva 2949 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
12553, 124mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) )
126125pm2.01da 442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  U  <  ( F `  C )
)
12748, 10lttri3d 9742 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  =  U  <-> 
( -.  ( F `
 C )  < 
U  /\  -.  U  <  ( F `  C
) ) ) )
12830, 126, 127mpbir2and 922 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  =  U )
12929, 128breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  ( F `  C ) )
13048ltnrd 9736 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C )
)
131 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  A  ->  ( F `  C )  =  ( F `  A ) )
132131breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
133132notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C
) ) )
134130, 133syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  A  ->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
135134necon2ad 2670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  C  =/=  A ) )
136135, 34jctild 543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A
) ) )
1375, 28ltlend 9747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A ) ) )
138136, 137sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  A  <  C ) )
139129, 138mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  C )
14015simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
141128, 140eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  <  ( F `  B ) )
142 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  C  ->  ( F `  B )  =  ( F `  C ) )
143142breq2d 4468 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  ( F `  C )  <  ( F `  C )
) )
144143notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C
) ) )
145130, 144syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
146145necon2ad 2670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  B  =/=  C ) )
147146, 38jctild 543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C
) ) )
14828, 6ltlend 9747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  <  B  <->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C ) ) )
149147, 148sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
150141, 149mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <  B )
1515rexrd 9660 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1526rexrd 9660 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
153 elioo2 11595 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
154151, 152, 153syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
15528, 139, 150, 154mpbir3and 1179 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
156155, 128jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508    + caddc 9512   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   abscabs 13079   -cn->ccncf 21506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-cncf 21508
This theorem is referenced by:  ivth  21992
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