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Theorem ivthlem3 22482
 Description: Lemma for ivth 22483, the intermediate value theorem. Show that cannot be greater than , and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1
ivth.2
ivth.3
ivth.4
ivth.5
ivth.7
ivth.8
ivth.9
ivth.10
ivth.11
Assertion
Ref Expression
ivthlem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4
2 ivth.10 . . . . . . . 8
3 ssrab2 3500 . . . . . . . 8
42, 3eqsstri 3448 . . . . . . 7
5 ivth.1 . . . . . . . 8
6 ivth.2 . . . . . . . 8
7 iccssre 11741 . . . . . . . 8
85, 6, 7syl2anc 673 . . . . . . 7
94, 8syl5ss 3429 . . . . . 6
10 ivth.3 . . . . . . . . 9
11 ivth.4 . . . . . . . . 9
12 ivth.5 . . . . . . . . 9
13 ivth.7 . . . . . . . . 9
14 ivth.8 . . . . . . . . 9
15 ivth.9 . . . . . . . . 9
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 22480 . . . . . . . 8
1716simpld 466 . . . . . . 7
18 ne0i 3728 . . . . . . 7
1917, 18syl 17 . . . . . 6
2016simprd 470 . . . . . . 7
21 breq2 4399 . . . . . . . . 9
2221ralbidv 2829 . . . . . . . 8
2322rspcev 3136 . . . . . . 7
246, 20, 23syl2anc 673 . . . . . 6
259, 19, 243jca 1210 . . . . 5
26 suprcl 10591 . . . . 5
2725, 26syl 17 . . . 4
281, 27syl5eqel 2553 . . 3
2915simpld 466 . . . . 5
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 22481 . . . . . 6
3113adantr 472 . . . . . . . . 9
32 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . 14
3325, 17, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
3433, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . 12
35 suprleub 10595 . . . . . . . . . . . . . . 15
3625, 6, 35syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
3720, 36mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13
381, 37syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . 12
39 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . 13
405, 6, 39syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . 11
4212, 41sseldd 3419 . . . . . . . . . 10
4342adantr 472 . . . . . . . . 9
4414ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
45 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
4645eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
4746rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12
4841, 44, 47sylc 61 . . . . . . . . . . 11
49 difrp 11360 . . . . . . . . . . 11
5010, 48, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
5150biimpa 492 . . . . . . . . 9
52 cncfi 22004 . . . . . . . . 9
5331, 43, 51, 52syl3anc 1292 . . . . . . . 8
54 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . 12
5512, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11
5655ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
5728ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 ltsubrp 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58sylancom 680 . . . . . . . . . . . . . 14
6059, 1syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . . 13
6125ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
62 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
6457, 63resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14
65 suprlub 10593 . . . . . . . . . . . . . 14
6661, 64, 65syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
6760, 66mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
684sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271, 69sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7370, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7470, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7774, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7972, 73, 78abssuble0d 13571 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8063adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8273, 80, 72, 81ltsub23d 10239 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8379, 82eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . 15
8469, 83, 75jca32 544 . . . . . . . . . . . . . 14
8584ex 441 . . . . . . . . . . . . 13
8685reximdv2 2855 . . . . . . . . . . . 12
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11
88 r19.29 2912 . . . . . . . . . . . 12
89 pm3.45 852 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14
9168ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9244ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
93 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9493eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9594rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9691, 92, 95sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9748ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9810ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9997, 98resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10096, 97, 99absdifltd 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10197recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10298recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103101, 102nncand 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104103breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10593breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
106105, 2elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107106simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108107ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10996, 98lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110108, 109mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111110pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112104, 111sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112adantrd 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114100, 113sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115114expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116115com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116impd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
11990, 118syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13
120119rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . 12
12188, 120syl5 32 . . . . . . . . . . 11
12287, 121mpan2d 688 . . . . . . . . . 10
12356, 122syld 44 . . . . . . . . 9
124123rexlimdva 2871 . . . . . . . 8
12553, 124mpd 15 . . . . . . 7
126125pm2.01da 449 . . . . . 6
12748, 10lttri3d 9792 . . . . . 6
12830, 126, 127mpbir2and 936 . . . . 5
12929, 128breqtrrd 4422 . . . 4
13048ltnrd 9786 . . . . . . . 8
131 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
132131breq1d 4405 . . . . . . . . 9
133132notbid 301 . . . . . . . 8
134130, 133syl5ibcom 228 . . . . . . 7
135134necon2ad 2658 . . . . . 6
136135, 34jctild 552 . . . . 5
1375, 28ltlend 9797 . . . . 5
138136, 137sylibrd 242 . . . 4
139129, 138mpd 15 . . 3
14015simprd 470 . . . . 5
141128, 140eqbrtrd 4416 . . . 4
142 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
143142breq2d 4407 . . . . . . . . 9
144143notbid 301 . . . . . . . 8
145130, 144syl5ibrcom 230 . . . . . . 7
146145necon2ad 2658 . . . . . 6
147146, 38jctild 552 . . . . 5
14828, 6ltlend 9797 . . . . 5
149147, 148sylibrd 242 . . . 4
150141, 149mpd 15 . . 3
1515rexrd 9708 . . . 4
1526rexrd 9708 . . . 4
153 elioo2 11702 . . . 4
154151, 152, 153syl2anc 673 . . 3
15528, 139, 150, 154mpbir3and 1213 . 2
156155, 128jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cc 9555  cr 9556   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  crp 11325  cioo 11660  cicc 11663  cabs 13374  ccncf 21986 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-cncf 21988 This theorem is referenced by:  ivth  22483
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