Theorem ivthlem3 21991

Description: Lemma for ivth 21992, the intermediate value theorem. Show that ( F ` C ) cannot be greater than U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivth.10	|- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
ivth.11	|- C = sup ( S , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
ivthlem3	|- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, F   ph, x   x, A   x, C   x, S   x, U

Proof of Theorem ivthlem3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.11	. . . 4 |- C = sup ( S , RR , < )
2		ivth.10	. . . . . . . 8 |- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
3		ssrab2 3581	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U } C_ ( A [,] B )
4	2, 3	eqsstri 3529	. . . . . . 7 |- S C_ ( A [,] B )
5		ivth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
6		ivth.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
7		iccssre 11631	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
8	5, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
9	4, 8	syl5ss 3510	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ RR )
10		ivth.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. RR )
11		ivth.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
12		ivth.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
13		ivth.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
14		ivth.8	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
15		ivth.9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
16	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2	ivthlem1 21989	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A e. S /\ A. z e. S z <_ B ) )
17	16	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. S )
18		ne0i 3799	. . . . . . 7 |- ( A e. S -> S =/= (/) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= (/) )
20	16	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. S z <_ B )
21		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( z <_ x <-> z <_ B ) )
22	21	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( A. z e. S z <_ x <-> A. z e. S z <_ B ) )
23	22	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A. z e. S z <_ B ) -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
24	6, 20, 23	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
25	9, 19, 24	3jca 1176	. . . . 5 |- ( ph -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
26		suprcl 10523	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
27	25, 26	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
28	1, 27	syl5eqel 2549	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
29	15	simpld 459	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) < U )
30	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1	ivthlem2 21990	. . . . . 6 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < U )
31	13	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> F e. ( D -cn-> CC ) )
32		suprub 10524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ A e. S ) -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
33	25, 17, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
34	33, 1	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ C )
35		suprleub 10527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ B e. RR ) -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
36	25, 6, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
37	20, 36	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) <_ B )
38	1, 37	syl5eqbr 4489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C <_ B )
39		elicc2 11614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
40	5, 6, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41	28, 34, 38, 40	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
42	12, 41	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. D )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> C e. D )
44	14	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
45		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = C -> ( F ` x ) = ( F ` C ) )
46	45	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = C -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` C ) e. RR ) )
47	46	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` C ) e. RR ) )
48	41, 44, 47	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
49		difrp 11278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. RR /\ ( F ` C ) e. RR ) -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
51	50	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ )
52		cncfi 21524	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ C e. D /\ ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
53	31, 43, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
54		ssralv 3560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A [,] B ) C_ D -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
55	12, 54	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
57	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> C e. RR )
58		ltsubrp 11276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. RR /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
59	57, 58	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
60	59, 1	syl6breq 4495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) )
61	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
62		rpre 11251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. RR+ -> z e. RR )
63	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> z e. RR )
64	57, 63	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) e. RR )
65		suprlub 10525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ ( C - z ) e. RR ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
66	61, 64, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
67	60, 66	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. S ( C - z ) < y )
68	4	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> y e. ( A [,] B ) )
69	68	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
70		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ph )
71	70, 8	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
72	71, 69	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. RR )
73	70, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> C e. RR )
74	70, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
75		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. S )
76		suprub 10524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ y e. S ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
78	77, 1	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ C )
79	72, 73, 78	abssuble0d 13276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( C - y ) )
80	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> z e. RR )
81		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - z ) < y )
82	73, 80, 72, 81	ltsub23d 10178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - y ) < z )
83	79, 82	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) < z )
84	69, 83, 75	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
85	84	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) ) )
86	85	reximdv2 2928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. S ( C - z ) < y -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
87	67, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) )
88		r19.29 2992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
89		pm3.45 834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) ) )
90	89	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) )
91	68	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
92	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
93		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
94	93	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` y ) e. RR ) )
95	94	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` y ) e. RR ) )
96	91, 92, 95	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
97	48	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. RR )
98	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. RR )
99	97, 98	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR )
100	96, 97, 99	absdifltd 13277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) ) )
101	97	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
102	98	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. CC )
103	101, 102	nncand 9955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) = U )
104	103	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) <-> U < ( F ` y ) ) )
105	93	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ U <-> ( F ` y ) <_ U ) )
106	105, 2	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. S <-> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( F ` y ) <_ U ) )
107	106	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. S -> ( F ` y ) <_ U )
108	107	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) <_ U )
109	96, 98	lenltd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` y ) <_ U <-> -. U < ( F ` y ) ) )
110	108, 109	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` y ) )
111	110	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( U < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
112	104, 111	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
113	112	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
114	100, 113	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
115	114	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( y e. S -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
116	115	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> ( y e. S -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
117	116	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
118	117	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
119	90, 118	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
120	119	rexlimdva 2949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
121	88, 120	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
122	87, 121	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
123	56, 122	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
124	123	rexlimdva 2949	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
125	53, 124	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> -. U < ( F ` C ) )
126	125	pm2.01da 442	. . . . . 6 |- ( ph -> -. U < ( F ` C ) )
127	48, 10	lttri3d 9742	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) = U <-> ( -. ( F ` C ) < U /\ -. U < ( F ` C ) ) ) )
128	30, 126, 127	mpbir2and 922	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` C ) = U )
129	29, 128	breqtrrd 4482	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` A ) < ( F ` C ) )
130	48	ltnrd 9736	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) )
131		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> ( F ` C ) = ( F ` A ) )
132	131	breq1d 4466	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
133	132	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
134	130, 133	syl5ibcom 220	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = A -> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
135	134	necon2ad 2670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> C =/= A ) )
136	135, 34	jctild 543	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
137	5, 28	ltlend 9747	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
138	136, 137	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> A < C ) )
139	129, 138	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A < C )
140	15	simprd 463	. . . . 5 |- ( ph -> U < ( F ` B ) )
141	128, 140	eqbrtrd 4476	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( F ` B ) )
142		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( F ` B ) = ( F ` C ) )
143	142	breq2d 4468	. . . . . . . . 9 |- ( B = C -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
144	143	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( B = C -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
145	130, 144	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B = C -> -. ( F ` C ) < ( F ` B ) ) )
146	145	necon2ad 2670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> B =/= C ) )
147	146, 38	jctild 543	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
148	28, 6	ltlend 9747	. . . . 5 |- ( ph -> ( C < B <-> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
149	147, 148	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> C < B ) )
150	141, 149	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> C < B )
151	5	rexrd 9660	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR* )
152	6	rexrd 9660	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR* )
153		elioo2 11595	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
154	151, 152, 153	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
155	28, 139, 150, 154	mpbir3and 1179	. 2 |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
156	155, 128	jca 532	1 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   + caddc 9512   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   abscabs 13079   -cn->ccncf 21506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-cncf 21508

This theorem is referenced by:  ivth  21992