Theorem ivthlem3 22403

Description: Lemma for ivth 22404, the intermediate value theorem. Show that ( F ` C ) cannot be greater than U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	|- ( ph -> A e. RR )
ivth.2	|- ( ph -> B e. RR )
ivth.3	|- ( ph -> U e. RR )
ivth.4	|- ( ph -> A < B )
ivth.5	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
ivth.7	|- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
ivth.8	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
ivth.9	|- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
ivth.10	|- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
ivth.11	|- C = sup ( S , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
ivthlem3	|- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, D   x, F   ph, x   x, A   x, C   x, S   x, U

Proof of Theorem ivthlem3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.11	. . . 4 |- C = sup ( S , RR , < )
2		ivth.10	. . . . . . . 8 |- S = { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U }
3		ssrab2 3546	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A [,] B ) | ( F ` x ) <_ U } C_ ( A [,] B )
4	2, 3	eqsstri 3494	. . . . . . 7 |- S C_ ( A [,] B )
5		ivth.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
6		ivth.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
7		iccssre 11724	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
8	5, 6, 7	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
9	4, 8	syl5ss 3475	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ RR )
10		ivth.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. RR )
11		ivth.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
12		ivth.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ D )
13		ivth.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( D -cn-> CC ) )
14		ivth.8	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
15		ivth.9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < U /\ U < ( F ` B ) ) )
16	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2	ivthlem1 22401	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A e. S /\ A. z e. S z <_ B ) )
17	16	simpld 460	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. S )
18		ne0i 3767	. . . . . . 7 |- ( A e. S -> S =/= (/) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S =/= (/) )
20	16	simprd 464	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. S z <_ B )
21		breq2 4427	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( z <_ x <-> z <_ B ) )
22	21	ralbidv 2861	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( A. z e. S z <_ x <-> A. z e. S z <_ B ) )
23	22	rspcev 3182	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A. z e. S z <_ B ) -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
24	6, 20, 23	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S z <_ x )
25	9, 19, 24	3jca 1185	. . . . 5 |- ( ph -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
26		suprcl 10577	. . . . 5 |- ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
27	25, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) e. RR )
28	1, 27	syl5eqel 2511	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
29	15	simpld 460	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) < U )
30	5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1	ivthlem2 22402	. . . . . 6 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < U )
31	13	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> F e. ( D -cn-> CC ) )
32		suprub 10578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ A e. S ) -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
33	25, 17, 32	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A <_ sup ( S , RR , < ) )
34	33, 1	syl6breqr 4464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ C )
35		suprleub 10581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ B e. RR ) -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
36	25, 6, 35	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sup ( S , RR , < ) <_ B <-> A. z e. S z <_ B ) )
37	20, 36	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sup ( S , RR , < ) <_ B )
38	1, 37	syl5eqbr 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C <_ B )
39		elicc2 11707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
40	5, 6, 39	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41	28, 34, 38, 40	mpbir3and 1188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( A [,] B ) )
42	12, 41	sseldd 3465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. D )
43	42	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> C e. D )
44	14	ralrimiva 2836	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
45		fveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = C -> ( F ` x ) = ( F ` C ) )
46	45	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = C -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` C ) e. RR ) )
47	46	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` C ) e. RR ) )
48	41, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` C ) e. RR )
49		difrp 11345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. RR /\ ( F ` C ) e. RR ) -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
50	10, 48, 49	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U < ( F ` C ) <-> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) )
51	50	biimpa 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ )
52		cncfi 21925	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( D -cn-> CC ) /\ C e. D /\ ( ( F ` C ) - U ) e. RR+ ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
53	31, 43, 51, 52	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) )
54		ssralv 3525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A [,] B ) C_ D -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
55	12, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
56	55	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) ) )
57	28	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> C e. RR )
58		ltsubrp 11343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. RR /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
59	57, 58	sylancom 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < C )
60	59, 1	syl6breq 4463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) )
61	25	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
62		rpre 11316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. RR+ -> z e. RR )
63	62	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> z e. RR )
64	57, 63	resubcld 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( C - z ) e. RR )
65		suprlub 10579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ ( C - z ) e. RR ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
66	61, 64, 65	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( C - z ) < sup ( S , RR , < ) <-> E. y e. S ( C - z ) < y ) )
67	60, 66	mpbid 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. S ( C - z ) < y )
68	4	sseli 3460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> y e. ( A [,] B ) )
69	68	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
70		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ph )
71	70, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
72	71, 69	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. RR )
73	70, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> C e. RR )
74	70, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) )
75		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y e. S )
76		suprub 10578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. S z <_ x ) /\ y e. S ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ sup ( S , RR , < ) )
78	77, 1	syl6breqr 4464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> y <_ C )
79	72, 73, 78	abssuble0d 13495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) = ( C - y ) )
80	63	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> z e. RR )
81		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - z ) < y )
82	73, 80, 72, 81	ltsub23d 10226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( C - y ) < z )
83	79, 82	eqbrtrd 4444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( abs ` ( y - C ) ) < z )
84	69, 83, 75	jca32 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
85	84	ex 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( y e. S /\ ( C - z ) < y ) -> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) ) )
86	85	reximdv2 2893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. S ( C - z ) < y -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
87	67, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) )
88		r19.29 2960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) )
89		pm3.45 842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) ) )
90	89	imp 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) )
91	68	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
92	44	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR )
93		fveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
94	93	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` y ) e. RR ) )
95	94	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( A [,] B ) -> ( A. x e. ( A [,] B ) ( F ` x ) e. RR -> ( F ` y ) e. RR ) )
96	91, 92, 95	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
97	48	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. RR )
98	10	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. RR )
99	97, 98	resubcld 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - U ) e. RR )
100	96, 97, 99	absdifltd 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) <-> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) ) )
101	97	recnd 9677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
102	98	recnd 9677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> U e. CC )
103	101, 102	nncand 9999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) = U )
104	103	breq1d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) <-> U < ( F ` y ) ) )
105	93	breq1d 4433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ U <-> ( F ` y ) <_ U ) )
106	105, 2	elrab2 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. S <-> ( y e. ( A [,] B ) /\ ( F ` y ) <_ U ) )
107	106	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. S -> ( F ` y ) <_ U )
108	107	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( F ` y ) <_ U )
109	96, 98	lenltd 9789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( F ` y ) <_ U <-> -. U < ( F ` y ) ) )
110	108, 109	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` y ) )
111	110	pm2.21d 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( U < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
112	104, 111	sylbid 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
113	112	adantrd 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) - ( ( F ` C ) - U ) ) < ( F ` y ) /\ ( F ` y ) < ( ( F ` C ) + ( ( F ` C ) - U ) ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
114	100, 113	sylbid 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ ( z e. RR+ /\ y e. S ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
115	114	expr 618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( y e. S -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
116	115	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) -> ( y e. S -> -. U < ( F ` C ) ) ) )
117	116	impd 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
118	117	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) /\ y e. S ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
119	90, 118	syl5 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
120	119	rexlimdva 2914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( E. y e. ( A [,] B ) ( ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
121	88, 120	syl5 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) /\ E. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z /\ y e. S ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
122	87, 121	mpan2d 678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
123	56, 122	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) /\ z e. RR+ ) -> ( A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
124	123	rexlimdva 2914	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> ( E. z e. RR+ A. y e. D ( ( abs ` ( y - C ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` C ) ) ) < ( ( F ` C ) - U ) ) -> -. U < ( F ` C ) ) )
125	53, 124	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ U < ( F ` C ) ) -> -. U < ( F ` C ) )
126	125	pm2.01da 443	. . . . . 6 |- ( ph -> -. U < ( F ` C ) )
127	48, 10	lttri3d 9783	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) = U <-> ( -. ( F ` C ) < U /\ -. U < ( F ` C ) ) ) )
128	30, 126, 127	mpbir2and 930	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` C ) = U )
129	29, 128	breqtrrd 4450	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` A ) < ( F ` C ) )
130	48	ltnrd 9777	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) )
131		fveq2 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> ( F ` C ) = ( F ` A ) )
132	131	breq1d 4433	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
133	132	notbid 295	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` C ) <-> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
134	130, 133	syl5ibcom 223	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C = A -> -. ( F ` A ) < ( F ` C ) ) )
135	134	necon2ad 2633	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> C =/= A ) )
136	135, 34	jctild 545	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
137	5, 28	ltlend 9788	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < C <-> ( A <_ C /\ C =/= A ) ) )
138	136, 137	sylibrd 237	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` C ) -> A < C ) )
139	129, 138	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A < C )
140	15	simprd 464	. . . . 5 |- ( ph -> U < ( F ` B ) )
141	128, 140	eqbrtrd 4444	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` C ) < ( F ` B ) )
142		fveq2 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( B = C -> ( F ` B ) = ( F ` C ) )
143	142	breq2d 4435	. . . . . . . . 9 |- ( B = C -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
144	143	notbid 295	. . . . . . . 8 |- ( B = C -> ( -. ( F ` C ) < ( F ` B ) <-> -. ( F ` C ) < ( F ` C ) ) )
145	130, 144	syl5ibrcom 225	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B = C -> -. ( F ` C ) < ( F ` B ) ) )
146	145	necon2ad 2633	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> B =/= C ) )
147	146, 38	jctild 545	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
148	28, 6	ltlend 9788	. . . . 5 |- ( ph -> ( C < B <-> ( C <_ B /\ B =/= C ) ) )
149	147, 148	sylibrd 237	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` C ) < ( F ` B ) -> C < B ) )
150	141, 149	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> C < B )
151	5	rexrd 9698	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR* )
152	6	rexrd 9698	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR* )
153		elioo2 11685	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
154	151, 152, 153	syl2anc 665	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )
155	28, 139, 150, 154	mpbir3and 1188	. 2 |- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
156	155, 128	jca 534	1 |- ( ph -> ( C e. ( A (,) B ) /\ ( F ` C ) = U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   supcsup 7964   CCcc 9545   RRcr 9546   + caddc 9550   RR*cxr 9682   < clt 9683   <_ cle 9684   - cmin 9868   RR+crp 11310   (,)cioo 11643   [,]cicc 11646   abscabs 13298   -cn->ccncf 21907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-sup 7966  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-rp 11311  df-ioo 11647  df-icc 11650  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-cncf 21909

This theorem is referenced by:  ivth  22404