Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodser 14518
 Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fprodser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodser (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 14514 . 2 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴
2 fveq2 6103 . . . 4 (𝑗 = ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzelz 11573 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7 eluzel2 11568 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
83, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 1cnd 9935 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
116, 9, 10subadd23d 10293 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
1211eqcomd 2616 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁𝑀) + 1))
13 uznn0sub 11595 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
15 nn0p1nn 11209 . . . . . 6 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℕ)
1712, 16eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ)
1810, 9pncan3d 10274 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
196, 10, 9pnpncand 10331 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)) = 𝑁)
2018, 19oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (𝑀...𝑁))
2120eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)))
2221biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))) → 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
23 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
2423zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
26 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
278, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2827zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3025, 29npcand 10275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) = 𝑝)
31 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
3230, 31eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
33 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ V
34 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)))
3534eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → ((𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
3633, 35sbcie 3437 . . . . . . . . 9 ([(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3732, 36sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → [(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3822, 37syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))) → [(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3938ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
40 1zzd 11285 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4117nnzd 11357 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ)
42 fzshftral 12297 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
4340, 41, 27, 42syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
4439, 43mpbird 246 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
458adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
465adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4723adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
4827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
49 fzsubel 12248 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ)) → (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1)))))
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1319 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1)))))
5131, 50mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))))
529, 10nncand 10276 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
536, 9, 10subsub2d 10300 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − (𝑀 − 1)) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
5452, 53oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5651, 55eleqtrd 2690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5730eqcomd 2616 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)))
5834eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → (𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1))))
5958rspcev 3282 . . . . . . . 8 (((𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1))) → ∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
6056, 57, 59syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
61 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℤ)
6261zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
63 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑚 ∈ ℤ)
6463zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑚 ∈ ℂ)
6562, 64anim12i 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ))
66 eqtr2 2630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
67 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
68 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
6928adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
7067, 68, 69addcan2d 10119 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → ((𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑛 = 𝑚))
7166, 70syl5ib 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7265, 71sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))) → ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7372ralrimivva 2954 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7473adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
75 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
7675eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))))
7776reu4 3367 . . . . . . 7 (∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ (∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚)))
7860, 74, 77sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
7978ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
80 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))) = (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))
8180f1ompt 6290 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1))))
8244, 79, 81sylanbrc 695 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
83 fprodser.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
84 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8583, 84fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
8685ffvelrnda 6267 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
87 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
88 1zzd 11285 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 1 ∈ ℤ)
8941adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9063adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9127adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
92 fzaddel 12246 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))))
9388, 89, 90, 91, 92syl22anc 1319 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))))
9487, 93mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))))
9520adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (𝑀...𝑁))
9694, 95eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
97 fprodser.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
9897ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = 𝐴)
99 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴
10099nfeq2 2766 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴
101 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
102 csbeq1a 3508 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → 𝐴 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
103101, 102eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴))
104100, 103rspc 3276 . . . . . . 7 ((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴))
10598, 104mpan9 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
10696, 105syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
107 f1of 6050 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁))
10882, 107syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁))
109 fvco3 6185 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
110108, 109sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
111 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ V
11275, 80, 111fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
113112adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
114113fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
115110, 114eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
116113fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
11783ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
11899nfel1 2765 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
119102eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
120118, 119rspc 3276 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
121117, 120mpan9 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
12296, 121syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
12384fvmpts 6194 . . . . . . 7 (((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
12496, 122, 123syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
125116, 124eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
126106, 115, 1253eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
1272, 17, 82, 86, 126fprod 14510 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = (seq1( · , (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))))‘(𝑁 + (1 − 𝑀))))
128 nnuz 11599 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
12917, 128syl6eleq 2698 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ (ℤ‘1))
130129, 27, 115seqshft2 12689 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))))‘(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹)‘((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))))
13118seqeq1d 12669 . . . 4 (𝜑 → seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
132131, 19fveq12d 6109 . . 3 (𝜑 → (seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹)‘((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
133127, 130, 1323eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
1341, 133syl5eqr 2658 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898  [wsbc 3402  ⦋csb 3499   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  ∏cprod 14474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475 This theorem is referenced by:  fprodfac  14542  iprodclim3  14570
 Copyright terms: Public domain W3C validator