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Theorem fprodser 27309
Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  A )
fprodser.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fprodser.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodser  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  (  seq M (  x.  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, F    ph, k    k, M    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables  j  m  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 27305 . 2  |-  prod_ j  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 j )  = 
prod_ k  e.  ( M ... N ) A
2 fveq2 5679 . . . 4  |-  ( j  =  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) ) `
 m )  -> 
( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  j )  =  ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
) ) )
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzelz 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
65zcnd 10736 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
7 eluzel2 10854 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
83, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98zcnd 10736 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10 ax-1cn 9328 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
126, 9, 11subadd23d 9729 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  -  M ) ) )
1312eqcomd 2438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  =  ( ( N  -  M )  +  1 ) )
14 uznn0sub 10880 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
153, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
16 nn0p1nn 10607 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  M )  +  1 )  e.  NN )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  1 )  e.  NN )
1813, 17eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN )
1911, 9pncan3d 9710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( M  -  1 ) )  =  M )
206, 11, 9pnpncand 27241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( 1  -  M
) )  +  ( M  -  1 ) )  =  N )
2119, 20oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) )  =  ( M ... N ) )
2221eleq2d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )  <-> 
p  e.  ( M ... N ) ) )
2322biimpa 481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )  ->  p  e.  ( M ... N
) )
24 elfzelz 11440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( M ... N )  ->  p  e.  ZZ )
2524zcnd 10736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( M ... N )  ->  p  e.  CC )
2625adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  e.  CC )
27 peano2zm 10676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
288, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2928zcnd 10736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  CC )
3029adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  CC )
3126, 30npcand 9711 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  =  p )
32 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  e.  ( M ... N ) )
3331, 32eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )
34 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  -  ( M  - 
1 ) )  e. 
_V
35 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  -  ( M  -  1
) )  ->  (
n  +  ( M  -  1 ) )  =  ( ( p  -  ( M  - 
1 ) )  +  ( M  -  1 ) ) )
3635eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  -  ( M  -  1
) )  ->  (
( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) ) )
3734, 36sbcie 3209 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( p  -  ( M  -  1 ) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )
3833, 37sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  [. ( p  -  ( M  - 
1 ) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1
) )  e.  ( M ... N ) )
3923, 38syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )  ->  [. (
p  -  ( M  -  1 ) )  /  n ]. (
n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
4039ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )
[. ( p  -  ( M  -  1
) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
41 1z 10664 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4318nnzd 10734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ZZ )
44 fzshftral 11531 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( N  +  (
1  -  M ) )  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( n  +  ( M  -  1
) )  e.  ( M ... N )  <->  A. p  e.  (
( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )
[. ( p  -  ( M  -  1
) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) ) )
4542, 43, 28, 44syl3anc 1211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( n  +  ( M  -  1
) )  e.  ( M ... N )  <->  A. p  e.  (
( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )
[. ( p  -  ( M  -  1
) )  /  n ]. ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) ) )
4640, 45mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
478adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
485adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
4924adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  e.  ZZ )
5028adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
51 fzsubel 11481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  e.  ZZ ) )  -> 
( p  e.  ( M ... N )  <-> 
( p  -  ( M  -  1 ) )  e.  ( ( M  -  ( M  -  1 ) ) ... ( N  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
5247, 48, 49, 50, 51syl22anc 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( p  e.  ( M ... N
)  <->  ( p  -  ( M  -  1
) )  e.  ( ( M  -  ( M  -  1 ) ) ... ( N  -  ( M  - 
1 ) ) ) ) )
5332, 52mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( p  -  ( M  - 
1 ) )  e.  ( ( M  -  ( M  -  1
) ) ... ( N  -  ( M  -  1 ) ) ) )
549, 11nncand 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
556, 9, 11subsub2d 9736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( M  -  1 ) )  =  ( N  +  ( 1  -  M ) ) )
5654, 55oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  -  ( M  -  1
) ) ... ( N  -  ( M  -  1 ) ) )  =  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) )
5756adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( ( M  -  ( M  -  1 ) ) ... ( N  -  ( M  -  1
) ) )  =  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5853, 57eleqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  ( p  -  ( M  - 
1 ) )  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5931eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  p  =  ( ( p  -  ( M  -  1
) )  +  ( M  -  1 ) ) )
6035eqeq2d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  -  ( M  -  1
) )  ->  (
p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) )  <->  p  =  ( ( p  -  ( M  -  1
) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )
6160rspcev 3062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  -  ( M  -  1 ) )  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  /\  p  =  ( (
p  -  ( M  -  1 ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) )
6258, 59, 61syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  E. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) ) )
63 elfzelz 11440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
6463zcnd 10736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  n  e.  CC )
65 elfzelz 11440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6665zcnd 10736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  m  e.  CC )
6764, 66anim12i 561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )
68 eqtr2 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  ->  ( n  +  ( M  -  1
) )  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )
69 simprl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  n  e.  CC )
70 simprr 749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  m  e.  CC )
7129adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  -> 
( M  -  1 )  e.  CC )
7269, 70, 71addcan2d 9561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  -> 
( ( n  +  ( M  -  1
) )  =  ( m  +  ( M  -  1 ) )  <-> 
n  =  m ) )
7368, 72syl5ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  -> 
( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) )
7467, 73sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ) )  -> 
( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) )
7574ralrimivva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) A. m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) )
7675adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) A. m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) ( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1
) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1
) ) )  ->  n  =  m )
)
77 oveq1 6087 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  ( M  -  1 ) )  =  ( m  +  ( M  -  1
) ) )
7877eqeq2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) )  <->  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) ) )
7978reu4 3142 . . . . . . 7  |-  ( E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1
) )  <->  ( E. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1
) )  /\  A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) A. m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) ( ( p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) )  /\  p  =  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  ->  n  =  m ) ) )
8062, 76, 79sylanbrc 657 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  ( M ... N ) )  ->  E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) ) )
8180ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. p  e.  ( M ... N ) E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) )
82 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1
) ) )
8382f1ompt 5853 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N )  <->  ( A. n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) ( n  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  /\  A. p  e.  ( M ... N ) E! n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) p  =  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) )
8446, 81, 83sylanbrc 657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
85 fprodser.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
86 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  A )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A )
8785, 86fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) : ( M ... N ) --> CC )
8887ffvelrnda 5831 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  j )  e.  CC )
89 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )
9041a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
9143adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ZZ )
9265adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9328adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
94 fzaddel 11480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  -  1 )  e.  ZZ ) )  -> 
( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  <-> 
( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9590, 91, 92, 93, 94syl22anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  <->  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( ( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... (
( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9689, 95mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( ( 1  +  ( M  - 
1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M
) )  +  ( M  -  1 ) ) ) )
9721adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( 1  +  ( M  -  1 ) ) ... ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( M ... N ) )
9896, 97eleqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N ) )
99 fprodser.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  A )
10099ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  =  A )
101 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A
102101nfeq2 2580 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( F `  (
m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A
103 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( m  +  ( M  -  1 ) ) ) )
104 csbeq1a 3285 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  A  =  [_ ( m  +  ( M  -  1
) )  /  k ]_ A )
105103, 104eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  (
( F `  k
)  =  A  <->  ( F `  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A ) )
106102, 105rspc 3056 . . . . . . 7  |-  ( ( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  =  A  ->  ( F `  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A ) )
107100, 106mpan9 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A )
10898, 107syldan 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( F `  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A )
109 f1of 5629 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N )  -> 
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) --> ( M ... N
) )
11084, 109syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) --> ( M ... N
) )
111 fvco3 5756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) : ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) --> ( M ... N
)  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( F `
 ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) ) `
 m ) ) )
112110, 111sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( F `
 ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  - 
1 ) ) ) `
 m ) ) )
113 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e. 
_V
11477, 82, 113fvmpt 5762 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
)  =  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )
115114adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
)  =  ( m  +  ( M  - 
1 ) ) )
116115fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  ( F `  ( (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m ) )  =  ( F `
 ( m  +  ( M  -  1
) ) ) )
117112, 116eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( F `
 ( m  +  ( M  -  1
) ) ) )
118115fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
) )  =  ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
m  +  ( M  -  1 ) ) ) )
11985ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
120101nfel1 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ ( m  +  ( M  -  1
) )  /  k ]_ A  e.  CC
121104eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( m  +  ( M  -  1
) )  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ ( m  +  ( M  - 
1 ) )  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
122120, 121rspc 3056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC ) )
123119, 122mpan9 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  ( M  - 
1 ) )  e.  ( M ... N
) )  ->  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC )
12498, 123syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC )
12586fvmpts 5764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  +  ( M  -  1 ) )  e.  ( M ... N )  /\  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  ( m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A )
12698, 124, 125syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
m  +  ( M  -  1 ) ) )  =  [_ (
m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A
)
127118, 126eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  (
( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) 
|->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m
) )  =  [_ ( m  +  ( M  -  1 ) )  /  k ]_ A )
128108, 117, 1273eqtr4d 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) ) )  ->  (
( F  o.  (
n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  ( ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) `  m ) ) )
1292, 18, 84, 88, 128fprod 27301 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  j )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F  o.  ( n  e.  (
1 ... ( N  +  ( 1  -  M
) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1 ) ) ) ) ) `  ( N  +  (
1  -  M ) ) ) )
130 nnuz 10884 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
13118, 130syl6eleq 2523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  -  M ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
132131, 28, 117seqshft2 11816 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F  o.  ( n  e.  ( 1 ... ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  |->  ( n  +  ( M  -  1
) ) ) ) ) `  ( N  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq (
1  +  ( M  -  1 ) ) (  x.  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  - 
1 ) ) ) )
13319seqeq1d 11796 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq ( 1  +  ( M  -  1 ) ) (  x.  ,  F )  =  seq M (  x.  ,  F ) )
134133, 20fveq12d 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq ( 1  +  ( M  - 
1 ) ) (  x.  ,  F ) `
 ( ( N  +  ( 1  -  M ) )  +  ( M  -  1 ) ) )  =  (  seq M (  x.  ,  F ) `
 N ) )
135129, 132, 1343eqtrd 2469 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  j )  =  (  seq M (  x.  ,  F ) `  N ) )
1361, 135syl5eqr 2479 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  (  seq M (  x.  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   [.wsbc 3175   [_csb 3276    e. cmpt 4338    o. ccom 4831   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424    seqcseq 11790   prod_cprod 27265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-prod 27266
This theorem is referenced by:  fprodfac  27330  iprodclim3  27347
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