2sqlem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqlem4 24946

Description: Lemma for 2sqlem5 24947. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem4.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2sqlem4.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
2sqlem4.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem4.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))

**Assertion**
Ref	Expression
2sqlem4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

**Proof of Theorem 2sqlem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		2sqlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		2sqlem5.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
6		2sqlem4.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		2sqlem4.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		2sqlem4.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		2sqlem4.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
14		2sqlem4.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
16		2sqlem4.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
18		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)))
19	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18	2sqlem3 24945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
20	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
22	6	znegcld 11360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → -𝐴 ∈ ℤ)
24	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℤ)
25	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℤ)
26	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℤ)
27	6	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28		sqneg 12785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
30	29	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
31	14, 30	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → (𝑁 · 𝑃) = ((-𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
33	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
34	12	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
35	27, 34	mulneg1d 10362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · 𝐷) = -(𝐴 · 𝐷))
36	35	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)))
37	10, 8	zmulcld 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
39	6, 12	zmulcld 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
40	39	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
41	38, 40	negsubd 10277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + -(𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
42	36, 41	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))
43	42	breq2d 4595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
44	43	biimpar 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (-𝐴 · 𝐷)))
45	1, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 44	2sqlem3 24945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
46		prmz 15227	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
48		zsqcl 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
49	10, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
50	2	nnzd 11357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
51	49, 50	zmulcld 11364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℤ)
52		zsqcl 12796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
53	6, 52	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
54	51, 53	zsubcld 11363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmul1 14841	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
56	47, 54, 55	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
57	10, 6	zmulcld 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
58	57	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
59	58	sqcld 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
60	38	sqcld 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
61	40	sqcld 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	pnpcand 10308	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
63	10	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
64	63, 27	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐴↑2)))
65	8	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
66	63, 65	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
67	64, 66	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
68	63	sqcld 12868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
69	53	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
70	65	sqcld 12868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	adddid 9943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
72	67, 71	eqtr4d 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
73	2	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
74	47	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑁))
76	14, 75	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝑃 · 𝑁))
77	76	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)))
78	68, 74, 73	mul12d 10124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝑃 · 𝑁)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
79	77, 78	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
80	72, 79	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)))
81	27, 34	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
82	34	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
83	69, 82	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
84	81, 83	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
85	64, 84	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
86	49	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
87	86, 82, 69	adddird 9944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) · (𝐴↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
88	85, 87	eqtr4d 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
89	16	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴↑2)) = (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) · (𝐴↑2)))
90	88, 89	eqtr4d 2647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (𝐴↑2)))
91	80, 90	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
92	51	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · 𝑁) ∈ ℂ)
93	74, 92, 69	subdid 10365	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = ((𝑃 · ((𝐶↑2) · 𝑁)) − (𝑃 · (𝐴↑2))))
94	91, 93	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐶 · 𝐵)↑2)) − (((𝐶 · 𝐴)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2))) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
95	62, 94	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))))
96		subsq 12834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
97	38, 40, 96	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐵)↑2) − ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
98	95, 97	eqtr3d 2646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (((𝐶↑2) · 𝑁) − (𝐴↑2))) = (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
99	56, 98	breqtrd 4609	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
100	37, 39	zaddcld 11362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
101	37, 39	zsubcld 11363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ)
102		euclemma 15263	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ ∧ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
103	4, 100, 101, 102	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) · ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷)))))
104	99, 103	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐷)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐶 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐷))))
105	19, 45, 104	mpjaodan 823	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∨ wo 382 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ran crn 5039 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 + caddc 9818 · cmul 9820 − cmin 10145 -cneg 10146 ℕcn 10897 2c2 10947 ℤcz 11254 ↑cexp 12722 abscabs 13822 ∥ cdvds 14821 ℙcprime 15223 ℤ[i]cgz 15471

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-dvds 14822 df-gcd 15055 df-prm 15224 df-gz 15472

This theorem is referenced by: 2sqlem5 24947

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