Theorem mbfsub 23235

Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfsub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbff 23200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4		elin 3758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
5	4	simplbi 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
6		ffvelrn 6265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
8		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
9		mbff 23200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
11	4	simprbi 479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
12		ffvelrn 6265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
14	7, 13	negsubd 10277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
15	14	eqcomd 2616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)))
16	15	mpteq2dva 4672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
17		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
19		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ → 𝐺 Fn dom 𝐺)
20	10, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn dom 𝐺)
21		mbfdm 23201	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
22	1, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
23		mbfdm 23201	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
24	8, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
25		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
26		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
28	18, 20, 22, 24, 25, 26, 27	offval 6802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
29		inmbl 23117	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
30	22, 24, 29	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
31	13	negcld 10258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → -(𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
32		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
33		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)))
34	30, 7, 31, 32, 33	offval2 6812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
35	16, 28, 34	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))))
36		inss1 3795	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
37		resmpt 5369	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
38	36, 37	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
39	3	feqmptd 6159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
40	39, 1	eqeltrrd 2689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
41		mbfres 23217	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
42	40, 30, 41	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
43	38, 42	eqeltrrd 2689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
44		inss2 3796	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
45		resmpt 5369	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
46	44, 45	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
47	10	feqmptd 6159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
48	47, 8	eqeltrrd 2689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
49		mbfres 23217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
50	48, 30, 49	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
51	46, 50	eqeltrrd 2689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
52	13, 51	mbfneg 23223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
53	43, 52	mbfadd 23234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
54	35, 53	eqeltrd 2688	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145  -cneg 10146  volcvol 23039  MblFncmbf 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194

This theorem is referenced by:  mbfmul  23299  iblulm  23965