Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcn2 14173
 Description: Complex number subtraction is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
subcn2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem subcn2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negcl 10160 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → -𝐶 ∈ ℂ)
2 addcn2 14172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
31, 2syl3an3 1353 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
4 negcl 10160 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℂ → -𝑣 ∈ ℂ)
5 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = -𝑣 → (𝑤 − -𝐶) = (-𝑣 − -𝐶))
65fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑣 → (abs‘(𝑤 − -𝐶)) = (abs‘(-𝑣 − -𝐶)))
76breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧))
87anbi2d 736 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑣 → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧)))
9 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = -𝑣 → (𝑢 + 𝑤) = (𝑢 + -𝑣))
109oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑣 → ((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶)) = ((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶)))
1110fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑣 → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))))
1211breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
138, 12imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑣 → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
1413rspcv 3278 . . . . . . . . 9 (-𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
154, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
17 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑣 ∈ ℂ)
18 simpll3 1095 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
1917, 18neg2subd 10288 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (-𝑣 − -𝐶) = (𝐶𝑣))
2019fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝐶𝑣)))
2118, 17abssubd 14040 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐶𝑣)) = (abs‘(𝑣𝐶)))
2220, 21eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝑣𝐶)))
2322breq1d 4593 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧))
2423anbi2d 736 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧)))
25 negsub 10208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢𝑣))
2625adantll 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢𝑣))
27 simpll2 1094 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2827, 18negsubd 10277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
2926, 28oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶)) = ((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶)))
3029fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))))
3130breq1d 4593 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴))
3224, 31imbi12d 333 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3316, 32sylibd 228 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3433ralrimdva 2952 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3534ralimdva 2945 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3635reximdv 2999 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3736reximdv 2999 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
383, 37mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146  ℝ+crp 11708  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  climsub  14212  rlimsub  14222  subcn  22477
 Copyright terms: Public domain W3C validator