Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart 24388
 Description: The quartic equation, writing out all roots using square and cube root functions so that only direct substitutions remain, and we can actually claim to have a "quartic equation". Naturally, this theorem is ridiculously long (see quartfull 30401) if all the substitutions are performed. This is Metamath 100 proof #46. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart.e (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quart.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
quart.s (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
quart.m (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
quart.t (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
quart.t0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
quart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
quart.i (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
quart.j (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
Assertion
Ref Expression
quart (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) = 0 ↔ ((𝑋 = ((𝐸𝑆) + 𝐼) ∨ 𝑋 = ((𝐸𝑆) − 𝐼)) ∨ (𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) ∨ 𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽)))))

Proof of Theorem quart
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 quart.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 quart.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 quart.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 quart.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 quart.p . . . 4 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
6 quart.q . . . 4 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
7 quart.r . . . 4 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
8 quart.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
9 quart.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
109oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐸) = (𝑋 − -(𝐴 / 4)))
11 4cn 10975 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
13 4ne0 10994 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
151, 12, 14divcld 10680 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 4) ∈ ℂ)
168, 15subnegd 10278 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 − -(𝐴 / 4)) = (𝑋 + (𝐴 / 4)))
1710, 16eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐸) = (𝑋 + (𝐴 / 4)))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17quart1 24383 . . 3 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) = ((((𝑋𝐸)↑4) + (𝑃 · ((𝑋𝐸)↑2))) + ((𝑄 · (𝑋𝐸)) + 𝑅)))
1918eqeq1d 2612 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) = 0 ↔ ((((𝑋𝐸)↑4) + (𝑃 · ((𝑋𝐸)↑2))) + ((𝑄 · (𝑋𝐸)) + 𝑅)) = 0))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7quart1cl 24381 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
2120simp1d 1066 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2220simp2d 1067 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
2315negcld 10258 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐴 / 4) ∈ ℂ)
249, 23eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
258, 24subcld 10271 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐸) ∈ ℂ)
26 quart.u . . . . 5 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
27 quart.v . . . . 5 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
28 quart.w . . . . 5 (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
29 quart.s . . . . 5 (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
30 quart.m . . . . 5 (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
31 quart.t . . . . 5 (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
32 quart.t0 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
331, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32quartlem3 24386 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))
3433simp1d 1066 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3529oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (2 · ((√‘𝑀) / 2)))
3633simp2d 1067 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
3736sqrtcld 14024 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘𝑀) ∈ ℂ)
38 2cnd 10970 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
39 2ne0 10990 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4137, 38, 40divcan2d 10682 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((√‘𝑀) / 2)) = (√‘𝑀))
4235, 41eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (√‘𝑀))
4342oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) = ((√‘𝑀)↑2))
4436sqsqrtd 14026 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝑀)↑2) = 𝑀)
4543, 44eqtr2d 2645 . . 3 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
46 quart.m0 . . 3 (𝜑𝑀 ≠ 0)
47 quart.i . . . . 5 (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
48 quart.j . . . . 5 (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
491, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 46, 47, 48quartlem4 24387 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 ∧ 𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ))
5049simp2d 1067 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
5147oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)))↑2))
5234sqcld 12868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
5352negcld 10258 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
5421halfcld 11154 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
5553, 54subcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) ∈ ℂ)
5622, 12, 14divcld 10680 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 / 4) ∈ ℂ)
5749simp1d 1066 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≠ 0)
5856, 34, 57divcld 10680 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
5955, 58addcld 9938 . . . . 5 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
6059sqsqrtd 14026 . . . 4 (𝜑 → ((√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)))↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)))
6151, 60eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)))
6220simp3d 1068 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
63 1cnd 9935 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64 3z 11287 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
65 1exp 12751 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
6664, 65mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (1↑3) = 1)
6733simp3d 1068 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
6867mulid2d 9937 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
6968oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) = ((2 · 𝑃) + 𝑇))
7068oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / (1 · 𝑇)) = (𝑈 / 𝑇))
7169, 70oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) = (((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)))
7271oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3) = ((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
7372negeqd 10154 . . . . . 6 (𝜑 → -((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3) = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
7430, 73eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3))
75 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥↑3) = (1↑3))
7675eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥↑3) = 1 ↔ (1↑3) = 1))
77 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑇) = (1 · 𝑇))
7877oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) = ((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)))
7977oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑈 / (𝑥 · 𝑇)) = (𝑈 / (1 · 𝑇)))
8078, 79oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) = (((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))))
8180oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) / 3) = ((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3))
8281negeqd 10154 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → -((((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) / 3) = -((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3))
8382eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) / 3) ↔ 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3)))
8476, 83anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (((𝑥↑3) = 1 ∧ 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) / 3)) ↔ ((1↑3) = 1 ∧ 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3))))
8584rspcev 3282 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ ((1↑3) = 1 ∧ 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (1 · 𝑇)) + (𝑈 / (1 · 𝑇))) / 3))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑3) = 1 ∧ 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) / 3)))
8663, 66, 74, 85syl12anc 1316 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑3) = 1 ∧ 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) / 3)))
87 2cn 10968 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
88 mulcl 9899 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
8987, 21, 88sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
9021sqcld 12868 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℂ)
91 mulcl 9899 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
9211, 62, 91sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (4 · 𝑅) ∈ ℂ)
9390, 92subcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)) ∈ ℂ)
9422sqcld 12868 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑2) ∈ ℂ)
9594negcld 10258 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑄↑2) ∈ ℂ)
9631oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3))
971, 2, 3, 4, 1, 9, 5, 6, 7, 26, 27, 28quartlem2 24385 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))
9897simp2d 1067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
9997simp3d 1068 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂ)
10098, 99addcld 9938 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 + 𝑊) ∈ ℂ)
101100halfcld 11154 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉 + 𝑊) / 2) ∈ ℂ)
102 3nn 11063 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
103 cxproot 24236 . . . . . . 7 ((((𝑉 + 𝑊) / 2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3) = ((𝑉 + 𝑊) / 2))
104101, 102, 103sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3))↑3) = ((𝑉 + 𝑊) / 2))
10596, 104eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑉 + 𝑊) / 2))
10628oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊↑2) = ((√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))))↑2))
10798sqcld 12868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉↑2) ∈ ℂ)
10897simp1d 1066 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
109 3nn0 11187 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
110 expcl 12740 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
111108, 109, 110sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
112 mulcl 9899 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑈↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
11311, 111, 112sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
114107, 113subcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
115114sqsqrtd 14026 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))))↑2) = ((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))))
116106, 115eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊↑2) = ((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3))))
11721, 22, 62, 26, 27quartlem1 24384 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))) ∧ 𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2)))))
118117simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (((2 · 𝑃)↑2) − (3 · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)))))
119117simprd 478 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (((2 · ((2 · 𝑃)↑3)) − (9 · ((2 · 𝑃) · ((𝑃↑2) − (4 · 𝑅))))) + (27 · -(𝑄↑2))))
12089, 93, 95, 36, 67, 105, 99, 116, 118, 119, 32mcubic 24374 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑀↑3) + ((2 · 𝑃) · (𝑀↑2))) + ((((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)) · 𝑀) + -(𝑄↑2))) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑3) = 1 ∧ 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + (𝑥 · 𝑇)) + (𝑈 / (𝑥 · 𝑇))) / 3))))
12186, 120mpbird 246 . . 3 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝑃) · (𝑀↑2))) + ((((𝑃↑2) − (4 · 𝑅)) · 𝑀) + -(𝑄↑2))) = 0)
12249simp3d 1068 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
12348oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)))↑2))
12455, 58subcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
125124sqsqrtd 14026 . . . 4 (𝜑 → ((√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)))↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)))
126123, 125eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)))
12721, 22, 25, 34, 45, 46, 50, 61, 62, 121, 122, 126dquart 24380 . 2 (𝜑 → (((((𝑋𝐸)↑4) + (𝑃 · ((𝑋𝐸)↑2))) + ((𝑄 · (𝑋𝐸)) + 𝑅)) = 0 ↔ (((𝑋𝐸) = (-𝑆 + 𝐼) ∨ (𝑋𝐸) = (-𝑆𝐼)) ∨ ((𝑋𝐸) = (𝑆 + 𝐽) ∨ (𝑋𝐸) = (𝑆𝐽)))))
12834negcld 10258 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
129128, 50addcld 9938 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝑆 + 𝐼) ∈ ℂ)
1308, 24, 129subaddd 10289 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (-𝑆 + 𝐼) ↔ (𝐸 + (-𝑆 + 𝐼)) = 𝑋))
13124, 34negsubd 10277 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 + -𝑆) = (𝐸𝑆))
132131oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 + -𝑆) + 𝐼) = ((𝐸𝑆) + 𝐼))
13324, 128, 50addassd 9941 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 + -𝑆) + 𝐼) = (𝐸 + (-𝑆 + 𝐼)))
134132, 133eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑆) + 𝐼) = (𝐸 + (-𝑆 + 𝐼)))
135134eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸𝑆) + 𝐼) = 𝑋 ↔ (𝐸 + (-𝑆 + 𝐼)) = 𝑋))
136130, 135bitr4d 270 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (-𝑆 + 𝐼) ↔ ((𝐸𝑆) + 𝐼) = 𝑋))
137 eqcom 2617 . . . . 5 (((𝐸𝑆) + 𝐼) = 𝑋𝑋 = ((𝐸𝑆) + 𝐼))
138136, 137syl6bb 275 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (-𝑆 + 𝐼) ↔ 𝑋 = ((𝐸𝑆) + 𝐼)))
139128, 50subcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝑆𝐼) ∈ ℂ)
1408, 24, 139subaddd 10289 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (-𝑆𝐼) ↔ (𝐸 + (-𝑆𝐼)) = 𝑋))
141131oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 + -𝑆) − 𝐼) = ((𝐸𝑆) − 𝐼))
14224, 128, 50addsubassd 10291 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 + -𝑆) − 𝐼) = (𝐸 + (-𝑆𝐼)))
143141, 142eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝑆) − 𝐼) = (𝐸 + (-𝑆𝐼)))
144143eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸𝑆) − 𝐼) = 𝑋 ↔ (𝐸 + (-𝑆𝐼)) = 𝑋))
145140, 144bitr4d 270 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (-𝑆𝐼) ↔ ((𝐸𝑆) − 𝐼) = 𝑋))
146 eqcom 2617 . . . . 5 (((𝐸𝑆) − 𝐼) = 𝑋𝑋 = ((𝐸𝑆) − 𝐼))
147145, 146syl6bb 275 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (-𝑆𝐼) ↔ 𝑋 = ((𝐸𝑆) − 𝐼)))
148138, 147orbi12d 742 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝐸) = (-𝑆 + 𝐼) ∨ (𝑋𝐸) = (-𝑆𝐼)) ↔ (𝑋 = ((𝐸𝑆) + 𝐼) ∨ 𝑋 = ((𝐸𝑆) − 𝐼))))
14934, 122addcld 9938 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + 𝐽) ∈ ℂ)
1508, 24, 149subaddd 10289 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (𝑆 + 𝐽) ↔ (𝐸 + (𝑆 + 𝐽)) = 𝑋))
15124, 34, 122addassd 9941 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) = (𝐸 + (𝑆 + 𝐽)))
152151eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) = 𝑋 ↔ (𝐸 + (𝑆 + 𝐽)) = 𝑋))
153150, 152bitr4d 270 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (𝑆 + 𝐽) ↔ ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) = 𝑋))
154 eqcom 2617 . . . . 5 (((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) = 𝑋𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽))
155153, 154syl6bb 275 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (𝑆 + 𝐽) ↔ 𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽)))
15634, 122subcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
1578, 24, 156subaddd 10289 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (𝑆𝐽) ↔ (𝐸 + (𝑆𝐽)) = 𝑋))
15824, 34, 122addsubassd 10291 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽) = (𝐸 + (𝑆𝐽)))
159158eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 + 𝑆) − 𝐽) = 𝑋 ↔ (𝐸 + (𝑆𝐽)) = 𝑋))
160157, 159bitr4d 270 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (𝑆𝐽) ↔ ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽) = 𝑋))
161 eqcom 2617 . . . . 5 (((𝐸 + 𝑆) − 𝐽) = 𝑋𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽))
162160, 161syl6bb 275 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐸) = (𝑆𝐽) ↔ 𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽)))
163155, 162orbi12d 742 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝐸) = (𝑆 + 𝐽) ∨ (𝑋𝐸) = (𝑆𝐽)) ↔ (𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) ∨ 𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽))))
164148, 163orbi12d 742 . 2 (𝜑 → ((((𝑋𝐸) = (-𝑆 + 𝐼) ∨ (𝑋𝐸) = (-𝑆𝐼)) ∨ ((𝑋𝐸) = (𝑆 + 𝐽) ∨ (𝑋𝐸) = (𝑆𝐽))) ↔ ((𝑋 = ((𝐸𝑆) + 𝐼) ∨ 𝑋 = ((𝐸𝑆) − 𝐼)) ∨ (𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) ∨ 𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽)))))
16519, 127, 1643bitrd 293 1 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐴 · (𝑋↑3))) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) = 0 ↔ ((𝑋 = ((𝐸𝑆) + 𝐼) ∨ 𝑋 = ((𝐸𝑆) − 𝐼)) ∨ (𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) + 𝐽) ∨ 𝑋 = ((𝐸 + 𝑆) − 𝐽)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ;cdc 11369  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  ↑𝑐ccxp 24106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108 This theorem is referenced by:  quartfull  30401
 Copyright terms: Public domain W3C validator