Proof of Theorem sqreulem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sqrteulem.1 |
. . . . 5
⊢ 𝐵 =
((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
2 | 1 | oveq1i 6559 |
. . . 4
⊢ (𝐵↑2) =
(((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) |
3 | | abscl 13866 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
4 | | absge0 13875 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤
(abs‘𝐴)) |
5 | | resqrtcl 13842 |
. . . . . . . 8
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈
ℝ) |
6 | 3, 4, 5 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ) |
7 | 6 | recnd 9947 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ) |
8 | 7 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ) |
9 | 3 | recnd 9947 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
10 | | addcl 9897 |
. . . . . . . 8
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ) |
11 | 9, 10 | mpancom 700 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈
ℂ) |
12 | 11 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈
ℂ) |
13 | | abscl 13866 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((abs‘𝐴) +
𝐴) ∈ ℂ →
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) ∈
ℝ) |
14 | 11, 13 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) ∈
ℝ) |
15 | 14 | recnd 9947 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) ∈
ℂ) |
16 | 15 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) ∈
ℂ) |
17 | 11 | abs00ad 13878 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴)) = 0 ↔
((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0)) |
18 | 17 | necon3bid 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴)) ≠ 0 ↔
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0)) |
19 | 18 | biimpar 501 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) ≠
0) |
20 | 12, 16, 19 | divcld 10680 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℂ) |
21 | 8, 20 | sqmuld 12882 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) =
(((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2))) |
22 | 2, 21 | syl5eq 2656 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵↑2) =
(((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2))) |
23 | 3 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
24 | 4 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
(abs‘𝐴)) |
25 | | resqrtth 13844 |
. . . . 5
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → ((√‘(abs‘𝐴))↑2) = (abs‘𝐴)) |
26 | 23, 24, 25 | syl2anc 691 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((√‘(abs‘𝐴))↑2) = (abs‘𝐴)) |
27 | 12, 16, 19 | sqdivd 12883 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2) = ((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) / ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2))) |
28 | | absvalsq 13868 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴)↑2) =
(𝐴 ·
(∗‘𝐴))) |
29 | | 2cn 10968 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ∈
ℂ |
30 | | mulass 9903 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 ·
(abs‘𝐴)) ·
𝐴) = (2 ·
((abs‘𝐴) ·
𝐴))) |
31 | 29, 30 | mp3an1 1403 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) |
32 | 9, 31 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2
· (abs‘𝐴))
· 𝐴) = (2 ·
((abs‘𝐴) ·
𝐴))) |
33 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 ·
(abs‘𝐴)) ∈
ℂ) |
34 | 29, 9, 33 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
· (abs‘𝐴))
∈ ℂ) |
35 | | mulcom 9901 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((2
· (abs‘𝐴))
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴)))) |
36 | 34, 35 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2
· (abs‘𝐴))
· 𝐴) = (𝐴 · (2 ·
(abs‘𝐴)))) |
37 | 32, 36 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
· ((abs‘𝐴)
· 𝐴)) = (𝐴 · (2 ·
(abs‘𝐴)))) |
38 | 28, 37 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴)↑2) +
(2 · ((abs‘𝐴)
· 𝐴))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))) |
39 | | cjcl 13693 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(∗‘𝐴) ∈
ℂ) |
40 | | adddi 9904 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
(∗‘𝐴) ∈
ℂ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))) |
41 | 39, 34, 40 | mpd3an23 1418 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))) |
42 | 38, 41 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴)↑2) +
(2 · ((abs‘𝐴)
· 𝐴))) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))))) |
43 | | sqval 12784 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴)) |
44 | 42, 43 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((((abs‘𝐴)↑2) +
(2 · ((abs‘𝐴)
· 𝐴))) + (𝐴↑2)) = ((𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + (𝐴 · 𝐴))) |
45 | | binom2 12841 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) + (𝐴↑2))) |
46 | 9, 45 | mpancom 700 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 ·
((abs‘𝐴) ·
𝐴))) + (𝐴↑2))) |
47 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈
ℂ) |
48 | 39, 34 | addcld 9938 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴)))
∈ ℂ) |
49 | 47, 48, 47 | adddid 9943 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) = ((𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + (𝐴 · 𝐴))) |
50 | 44, 46, 49 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) |
51 | 9, 34 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴)))
∈ ℂ) |
52 | 9, 39 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴)) ∈
ℂ) |
53 | 51, 52 | addcomd 10117 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴))) +
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴))) =
(((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴)) +
((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴))))) |
54 | 9, 9 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) ∈
ℂ) |
55 | 54 | 2timesd 11152 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
· ((abs‘𝐴)
· (abs‘𝐴))) =
(((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)))) |
56 | | mul12 10081 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (2
· ((abs‘𝐴)
· (abs‘𝐴))) =
((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴)))) |
57 | 29, 56 | mp3an1 1403 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 ·
((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴))) =
((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴)))) |
58 | 9, 9, 57 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
· ((abs‘𝐴)
· (abs‘𝐴))) =
((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴)))) |
59 | 9 | sqvald 12867 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴)↑2) =
((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴))) |
60 | | mulcom 9901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
(∗‘𝐴) ∈
ℂ) → (𝐴 ·
(∗‘𝐴)) =
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) |
61 | 39, 60 | mpdan 699 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴)) |
62 | 28, 59, 61 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) =
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) |
63 | 62 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴))) =
(((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴))) |
64 | 55, 58, 63 | 3eqtr3rd 2653 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) =
((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴)))) |
65 | 64 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) +
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴))) =
(((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴))) +
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴)))) |
66 | 9, 39, 34 | adddid 9943 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴)))) =
(((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴)) +
((abs‘𝐴) · (2
· (abs‘𝐴))))) |
67 | 53, 65, 66 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) +
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴))) =
((abs‘𝐴) ·
((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))))) |
68 | 67 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) +
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴))) +
((abs‘𝐴) ·
𝐴)) = (((abs‘𝐴) ·
((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴)))) +
((abs‘𝐴) ·
𝐴))) |
69 | | cjadd 13729 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴))) |
70 | 9, 69 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴))) |
71 | 3 | cjred 13814 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(∗‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴)) |
72 | 71 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴))) |
73 | 70, 72 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴))) |
74 | 73 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) ·
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴)))) |
75 | 9, 47, 9, 39 | muladdd 10368 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴))) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))) |
76 | 74, 75 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) ·
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))) |
77 | | absvalsq 13868 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((abs‘𝐴) +
𝐴) ∈ ℂ →
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2) =
(((abs‘𝐴) + 𝐴) ·
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
78 | 11, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2) =
(((abs‘𝐴) + 𝐴) ·
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
79 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((∗‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ) |
80 | 39, 79 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((∗‘𝐴)
· 𝐴) ∈
ℂ) |
81 | 54, 80 | addcld 9938 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) ∈
ℂ) |
82 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ) |
83 | 9, 82 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
𝐴) ∈
ℂ) |
84 | 81, 52, 83 | addassd 9941 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) +
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴))) +
((abs‘𝐴) ·
𝐴)) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))) |
85 | 76, 78, 84 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2) =
(((((abs‘𝐴) ·
(abs‘𝐴)) +
((∗‘𝐴)
· 𝐴)) +
((abs‘𝐴) ·
(∗‘𝐴))) +
((abs‘𝐴) ·
𝐴))) |
86 | 9, 48, 47 | adddid 9943 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) = (((abs‘𝐴) ·
((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴)))) +
((abs‘𝐴) ·
𝐴))) |
87 | 68, 85, 86 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2) =
((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) |
88 | 50, 87 | oveq12d 6567 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) /
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2)) = ((𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) / ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)))) |
89 | 88 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) /
((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2)) = ((𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) / ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)))) |
90 | 27, 89 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2) = ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))) |
91 | 26, 90 | oveq12d 6567 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2)) = ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))) |
92 | | addcl 9897 |
. . . . . . . 8
⊢
((((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) →
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴) ∈
ℂ) |
93 | 48, 92 | mpancom 700 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴) ∈
ℂ) |
94 | 9, 47, 93 | mul12d 10124 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
(𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) = (𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))) |
95 | 94 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) ·
(𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) / ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) = ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))) |
96 | 95 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(((abs‘𝐴) ·
(𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) / ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) = ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))) |
97 | 9 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
98 | | mulcl 9899 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴) ∈ ℂ) →
(𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) ∈
ℂ) |
99 | 93, 98 | mpdan 699 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) ∈
ℂ) |
100 | 99 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) ∈
ℂ) |
101 | 9, 93 | mulcld 9939 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) ∈
ℂ) |
102 | 101 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) ∈
ℂ) |
103 | | sqeq0 12789 |
. . . . . . . . 9
⊢
((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ →
(((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2) = 0 ↔
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) = 0)) |
104 | 15, 103 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2) = 0 ↔
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) = 0)) |
105 | 87 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘((abs‘𝐴)
+ 𝐴))↑2) = 0 ↔
((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) = 0)) |
106 | 104, 105,
17 | 3bitr3rd 298 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) = 0)) |
107 | 106 | necon3bid 2826 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0 ↔
((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) ≠
0)) |
108 | 107 | biimpa 500 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) ≠
0) |
109 | 97, 100, 102, 108 | divassd 10715 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(((abs‘𝐴) ·
(𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) / ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))) |
110 | | simpl 472 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈
ℂ) |
111 | 110, 102,
108 | divcan4d 10686 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐴 · ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) / ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴))) = 𝐴) |
112 | 96, 109, 111 | 3eqtr3d 2652 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((abs‘𝐴) ·
((𝐴 ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)) / ((abs‘𝐴) ·
(((∗‘𝐴) + (2
· (abs‘𝐴))) +
𝐴)))) = 𝐴) |
113 | 22, 91, 112 | 3eqtrd 2648 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵↑2) = 𝐴) |
114 | 6 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ) |
115 | 11 | addcjd 13800 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (2 ·
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
116 | | 2re 10967 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℝ |
117 | 11 | recld 13782 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ) |
118 | | remulcl 9900 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 ·
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ) |
119 | 116, 117,
118 | sylancr 694 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2
· (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ) |
120 | 115, 119 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ) |
121 | 120 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ) |
122 | 14 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)) ∈
ℝ) |
123 | 121, 122,
19 | redivcld 10732 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ) |
124 | 114, 123 | remulcld 9949 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ) |
125 | | sqrtge0 13846 |
. . . . . . 7
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 0 ≤
(√‘(abs‘𝐴))) |
126 | 3, 4, 125 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤
(√‘(abs‘𝐴))) |
127 | 126 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
(√‘(abs‘𝐴))) |
128 | | negcl 10160 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈
ℂ) |
129 | | releabs 13909 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (-𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘-𝐴) ≤
(abs‘-𝐴)) |
130 | 128, 129 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘-𝐴) ≤
(abs‘-𝐴)) |
131 | | abscl 13866 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (-𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘-𝐴) ∈
ℝ) |
132 | 128, 131 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘-𝐴) ∈
ℝ) |
133 | 128 | recld 13782 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘-𝐴) ∈
ℝ) |
134 | 132, 133 | subge0d 10496 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤
((abs‘-𝐴) −
(ℜ‘-𝐴)) ↔
(ℜ‘-𝐴) ≤
(abs‘-𝐴))) |
135 | 130, 134 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤
((abs‘-𝐴) −
(ℜ‘-𝐴))) |
136 | | readd 13714 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) |
137 | 9, 136 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) |
138 | 3 | rered 13812 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴)) |
139 | | absneg 13865 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘-𝐴) =
(abs‘𝐴)) |
140 | 138, 139 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘(abs‘𝐴)) = (abs‘-𝐴)) |
141 | | negneg 10210 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴) |
142 | 141 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘--𝐴) =
(ℜ‘𝐴)) |
143 | 128 | renegd 13797 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘--𝐴) =
-(ℜ‘-𝐴)) |
144 | 142, 143 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘𝐴) =
-(ℜ‘-𝐴)) |
145 | 140, 144 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘-𝐴) + -(ℜ‘-𝐴))) |
146 | 132 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(abs‘-𝐴) ∈
ℂ) |
147 | 133 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘-𝐴) ∈
ℂ) |
148 | 146, 147 | negsubd 10277 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘-𝐴) +
-(ℜ‘-𝐴)) =
((abs‘-𝐴) −
(ℜ‘-𝐴))) |
149 | 137, 145,
148 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴))) |
150 | 135, 149 | breqtrrd 4611 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) |
151 | | 0le2 10988 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ≤
2 |
152 | | mulge0 10425 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((2
∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) → 0 ≤ (2 ·
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
153 | 116, 151,
152 | mpanl12 714 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) → 0 ≤ (2 ·
(ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
154 | 117, 150,
153 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2
· (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
155 | 154, 115 | breqtrrd 4611 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤
(((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
156 | 155 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
(((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
157 | | absge0 13875 |
. . . . . . . 8
⊢
(((abs‘𝐴) +
𝐴) ∈ ℂ → 0
≤ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) |
158 | 12, 157 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴))) |
159 | 122, 158,
19 | ne0gt0d 10053 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 <
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴))) |
160 | | divge0 10771 |
. . . . . 6
⊢
((((((abs‘𝐴) +
𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∧ ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 <
(abs‘((abs‘𝐴) +
𝐴)))) → 0 ≤
((((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
161 | 121, 156,
122, 159, 160 | syl22anc 1319 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
((((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
162 | 114, 123,
127, 161 | mulge0d 10483 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
163 | | 2pos 10989 |
. . . . 5
⊢ 0 <
2 |
164 | | divge0 10771 |
. . . . 5
⊢
(((((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 <
2)) → 0 ≤ (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2)) |
165 | 116, 163,
164 | mpanr12 717 |
. . . 4
⊢
((((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) → 0 ≤
(((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2)) |
166 | 124, 162,
165 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
(((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2)) |
167 | 8, 20 | mulcld 9939 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ) |
168 | 1, 167 | syl5eqel 2692 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 𝐵 ∈
ℂ) |
169 | | reval 13694 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2)) |
170 | 168, 169 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2)) |
171 | 1 | oveq1i 6559 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 +
((√‘(abs‘𝐴)) ·
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) + ((√‘(abs‘𝐴)) ·
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
172 | 1 | fveq2i 6106 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∗‘𝐵) =
(∗‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
173 | 8, 20 | cjmuld 13809 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) =
((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) ·
(∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))) |
174 | 172, 173 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘𝐵) =
((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) ·
(∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))) |
175 | 6 | cjred 13814 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(∗‘(√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴))) |
176 | 175 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘(√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴))) |
177 | 12, 16, 19 | cjdivd 13811 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) /
(∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
178 | 122 | cjred 13814 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) |
179 | 178 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) /
(∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
180 | 177, 179 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) |
181 | 176, 180 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) ·
(∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = ((√‘(abs‘𝐴)) ·
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
182 | 174, 181 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘𝐵) =
((√‘(abs‘𝐴)) ·
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
183 | 182 | oveq2d 6565 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) = (𝐵 + ((√‘(abs‘𝐴)) ·
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))) |
184 | 12 | cjcld 13784 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ) |
185 | 184, 16, 19 | divcld 10680 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℂ) |
186 | 8, 20, 185 | adddid 9943 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) + ((√‘(abs‘𝐴)) ·
((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))) |
187 | 171, 183,
186 | 3eqtr4a 2670 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) =
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))) |
188 | 12, 184, 16, 19 | divdird 10718 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((((abs‘𝐴) + 𝐴) +
(∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
189 | 188 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))) |
190 | 187, 189 | eqtr4d 2647 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) =
((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) |
191 | 190 | oveq1d 6564 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2) =
(((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2)) |
192 | 170, 191 | eqtrd 2644 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(ℜ‘𝐵) =
(((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2)) |
193 | 166, 192 | breqtrrd 4611 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤
(ℜ‘𝐵)) |
194 | | subneg 10209 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((abs‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴)) |
195 | 9, 194 | mpancom 700 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
((abs‘𝐴) −
-𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴)) |
196 | 195 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) −
-𝐴) = 0 ↔
((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0)) |
197 | 9, 128 | subeq0ad 10281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) −
-𝐴) = 0 ↔
(abs‘𝐴) = -𝐴)) |
198 | 196, 197 | bitr3d 269 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴)) |
199 | 198 | necon3bid 2826 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ -𝐴)) |
200 | 199 | biimpa 500 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
(abs‘𝐴) ≠ -𝐴) |
201 | | resqcl 12793 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((i
· 𝐵) ∈ ℝ
→ ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℝ) |
202 | | ax-icn 9874 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ i ∈
ℂ |
203 | | sqmul 12788 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ 𝐵
∈ ℂ) → ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2))) |
204 | 202, 168,
203 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵)↑2) = ((i↑2)
· (𝐵↑2))) |
205 | | i2 12827 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(i↑2) = -1 |
206 | 205 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (i↑2) =
-1) |
207 | 206, 113 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i↑2)
· (𝐵↑2)) = (-1
· 𝐴)) |
208 | | mulm1 10350 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1
· 𝐴) = -𝐴) |
209 | 208 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (-1 ·
𝐴) = -𝐴) |
210 | 204, 207,
209 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵)↑2) = -𝐴) |
211 | 210 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((i ·
𝐵)↑2) ∈ ℝ
↔ -𝐴 ∈
ℝ)) |
212 | 201, 211 | syl5ib 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵) ∈ ℝ →
-𝐴 ∈
ℝ)) |
213 | | renegcl 10223 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 ∈
ℝ) |
214 | 141 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈
ℝ)) |
215 | 213, 214 | syl5ib 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℝ)) |
216 | 110, 212,
215 | sylsyld 59 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵) ∈ ℝ →
𝐴 ∈
ℝ)) |
217 | | sqge0 12802 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((i
· 𝐵) ∈ ℝ
→ 0 ≤ ((i · 𝐵)↑2)) |
218 | 210 | breq2d 4595 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ ((i
· 𝐵)↑2) ↔
0 ≤ -𝐴)) |
219 | 217, 218 | syl5ib 233 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵) ∈ ℝ → 0
≤ -𝐴)) |
220 | | le0neg1 10415 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴)) |
221 | 220 | biimprcd 239 |
. . . . . . . . 9
⊢ (0 ≤
-𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 0)) |
222 | 219, 216,
221 | syl6c 68 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵) ∈ ℝ →
𝐴 ≤ 0)) |
223 | 216, 222 | jcad 554 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵) ∈ ℝ →
(𝐴 ∈ ℝ ∧
𝐴 ≤
0))) |
224 | | absnid 13886 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴) |
225 | 223, 224 | syl6 34 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i ·
𝐵) ∈ ℝ →
(abs‘𝐴) = -𝐴)) |
226 | 225 | necon3ad 2795 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) →
((abs‘𝐴) ≠ -𝐴 → ¬ (i · 𝐵) ∈
ℝ)) |
227 | 200, 226 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ¬ (i
· 𝐵) ∈
ℝ) |
228 | | rpre 11715 |
. . . 4
⊢ ((i
· 𝐵) ∈
ℝ+ → (i · 𝐵) ∈ ℝ) |
229 | 227, 228 | nsyl 134 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ¬ (i
· 𝐵) ∈
ℝ+) |
230 | | df-nel 2783 |
. . 3
⊢ ((i
· 𝐵) ∉
ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐵) ∈
ℝ+) |
231 | 229, 230 | sylibr 223 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (i ·
𝐵) ∉
ℝ+) |
232 | 113, 193,
231 | 3jca 1235 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧
((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵) ∧ (i · 𝐵) ∉
ℝ+)) |