Theorem negcl 10160

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 10148	. 2 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
2		0cn 9911	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		subcl 10159	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 4	syl5eqel 2692	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   − cmin 10145  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  negicn  10161  negcon1  10212  negdi  10217  negdi2  10218  negsubdi2  10219  neg2sub  10220  negcli  10228  negcld  10258  mulneg2  10346  mul2neg  10348  mulsub  10352  divneg  10598  divsubdir  10600  divsubdiv  10620  eqneg  10624  div2neg  10627  divneg2  10628  zeo  11339  sqneg  12785  binom2sub  12843  shftval4  13665  shftcan1  13671  shftcan2  13672  crim  13703  resub  13715  imsub  13723  cjneg  13735  cjsub  13737  absneg  13865  abs2dif2  13921  sqreulem  13947  sqreu  13948  subcn2  14173  risefallfac  14594  fallrisefac  14595  fallfac0  14598  binomrisefac  14612  efcan  14665  efne0  14666  efneg  14667  efsub  14669  sinneg  14715  cosneg  14716  tanneg  14717  efmival  14722  sinhval  14723  coshval  14724  sinsub  14737  cossub  14738  sincossq  14745  cnaddablx  18094  cnaddabl  18095  cnaddinv  18097  cncrng  19586  cnfldneg  19591  cnlmod  22748  cnstrcvs  22749  cncvs  22753  plyremlem  23863  reeff1o  24005  sin2pim  24041  cos2pim  24042  cxpsub  24228  cxpsqrt  24249  logrec  24301  asinlem3  24398  asinneg  24413  acosneg  24414  sinasin  24416  asinsin  24419  cosasin  24431  atantan  24450  ex-exp  26699  cnaddabloOLD  26820  hvsubdistr2  27291  spanunsni  27822  ltflcei  32567  dvasin  32666  sub2times  38426  cosknegpi  38752  etransclem18  39145  etransclem46  39173  altgsumbcALT  41924  sinhpcosh  42280