Theorem sqreulem 13194

Description: Lemma for sqreu 13195: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrteulem.1	|- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sqreulem	|- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrteulem.1	. . . . 5 |- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
2	1	oveq1i 6206	. . . 4 |- ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 )
3		abscl 13113	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
4		absge0 13122	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
5		resqrtcl 13089	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
7	6	recnd 9533	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
8	7	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
9	3	recnd 9533	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
10		addcl 9485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
11	9, 10	mpancom 667	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
12	11	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
13		abscl 13113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
14	11, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
15	14	recnd 9533	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
16	15	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
17	11	abs00ad 13125	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
18	17	necon3bid 2640	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) )
19	18	biimpar 483	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 )
20	12, 16, 19	divcld 10237	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
21	8, 20	sqmuld 12224	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
22	2, 21	syl5eq 2435	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
23	3	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
24	4	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
25		resqrtth 13091	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
27	12, 16, 19	sqdivd 12225	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) )
28		absvalsq 13115	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
29		2cn 10523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
30		mulass 9491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
31	29, 30	mp3an1 1309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
32	9, 31	mpancom 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
33		mulcl 9487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
34	29, 9, 33	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
35		mulcom 9489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
36	34, 35	mpancom 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
37	32, 36	eqtr3d 2425	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
38	28, 37	oveq12d 6214	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
39		cjcl 12940	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
40		adddi 9492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC ) -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
41	39, 34, 40	mpd3an23 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
42	38, 41	eqtr4d 2426	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
43		sqval 12130	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
44	42, 43	oveq12d 6214	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
45		binom2 12185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
46	9, 45	mpancom 667	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
47		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A e. CC )
48	39, 34	addcld 9526	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
49	47, 48, 47	adddid 9531	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2433	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
51	9, 34	mulcld 9527	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
52	9, 39	mulcld 9527	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) e. CC )
53	51, 52	addcomd 9693	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
54	9, 9	mulcld 9527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) e. CC )
55	54	2timesd 10698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) )
56		mul12 9657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
57	29, 56	mp3an1 1309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
58	9, 9, 57	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
59	9	sqvald 12209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) )
60		mulcom 9489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
61	39, 60	mpdan 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
62	28, 59, 61	3eqtr3d 2431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
63	62	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) )
64	55, 58, 63	3eqtr3rd 2432	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
65	64	oveq1d 6211	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) )
66	9, 39, 34	adddid 9531	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
67	53, 65, 66	3eqtr4d 2433	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
68	67	oveq1d 6211	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
69		cjadd 12976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
70	9, 69	mpancom 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
71	3	cjred 13061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( * ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
72	71	oveq1d 6211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
73	70, 72	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
74	73	oveq2d 6212	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) )
75	9, 47, 9, 39	muladdd 9932	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
76	74, 75	eqtrd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
77		absvalsq 13115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
78	11, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
79		mulcl 9487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
80	39, 79	mpancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
81	54, 80	addcld 9526	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) e. CC )
82		mulcl 9487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
83	9, 82	mpancom 667	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
84	81, 52, 83	addassd 9529	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
85	76, 78, 84	3eqtr4d 2433	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
86	9, 48, 47	adddid 9531	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
87	68, 85, 86	3eqtr4d 2433	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
88	50, 87	oveq12d 6214	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
89	88	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
90	27, 89	eqtrd 2423	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
91	26, 90	oveq12d 6214	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
92		addcl 9485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
93	48, 92	mpancom 667	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
94	9, 47, 93	mul12d 9700	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
95	94	oveq1d 6211	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
96	95	adantr 463	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
97	9	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
98		mulcl 9487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
99	93, 98	mpdan 666	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
100	99	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
101	9, 93	mulcld 9527	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
102	101	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
103		sqeq0 12135	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
104	15, 103	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
105	87	eqeq1d 2384	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
106	104, 105, 17	3bitr3rd 284	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
107	106	necon3bid 2640	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 ) )
108	107	biimpa 482	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 )
109	97, 100, 102, 108	divassd 10272	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
110		simpl 455	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> A e. CC )
111	110, 102, 108	divcan4d 10243	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = A )
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2431	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) = A )
113	22, 91, 112	3eqtrd 2427	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = A )
114	6	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
115	11	addcjd 13047	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
116		2re 10522	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
117	11	recld 13029	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
118		remulcl 9488	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
119	116, 117, 118	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
120	115, 119	eqeltrd 2470	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
121	120	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
122	14	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
123	121, 122, 19	redivcld 10289	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
124	114, 123	remulcld 9535	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR )
125		sqrtge0 13093	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
126	3, 4, 125	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
127	126	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
128		negcl 9733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
129		releabs 13156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
130	128, 129	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
131		abscl 13113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
132	128, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
133	128	recld 13029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. RR )
134	132, 133	subge0d 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) <-> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) ) )
135	130, 134	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
136		readd 12961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
137	9, 136	mpancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
138	3	rered 13059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
139		absneg 13112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
140	138, 139	eqtr4d 2426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` -u A ) )
141		negneg 9782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
142	141	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = ( Re ` A ) )
143	128	renegd 13044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = -u ( Re ` -u A ) )
144	142, 143	eqtr3d 2425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = -u ( Re ` -u A ) )
145	140, 144	oveq12d 6214	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) = ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) )
146	132	recnd 9533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. CC )
147	133	recnd 9533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. CC )
148	146, 147	negsubd 9850	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
149	137, 145, 148	3eqtrd 2427	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
150	135, 149	breqtrrd 4393	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
151		0le2 10543	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
152		mulge0 9988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) /\ ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
153	116, 151, 152	mpanl12 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
154	117, 150, 153	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
155	154, 115	breqtrrd 4393	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
156	155	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
157		absge0 13122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
158	12, 157	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
159	122, 158, 19	ne0gt0d 9633	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
160		divge0 10328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
161	121, 156, 122, 159, 160	syl22anc 1227	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
162	114, 123, 127, 161	mulge0d 10046	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
163		2pos 10544	. . . . 5 |- 0 < 2
164		divge0 10328	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
165	116, 163, 164	mpanr12 683	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
166	124, 162, 165	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
167	8, 20	mulcld 9527	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. CC )
168	1, 167	syl5eqel 2474	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> B e. CC )
169		reval 12941	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
170	168, 169	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
171	1	oveq1i 6206	. . . . . . 7 |- ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
172	1	fveq2i 5777	. . . . . . . . . 10 |- ( * ` B ) = ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
173	8, 20	cjmuld 13056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
174	172, 173	syl5eq 2435	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
175	6	cjred 13061	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
176	175	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
177	12, 16, 19	cjdivd 13058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
178	122	cjred 13061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
179	178	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
180	177, 179	eqtrd 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
181	176, 180	oveq12d 6214	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
182	174, 181	eqtrd 2423	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
183	182	oveq2d 6212	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
184	12	cjcld 13031	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
185	184, 16, 19	divcld 10237	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
186	8, 20, 185	adddid 9531	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
187	171, 183, 186	3eqtr4a 2449	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
188	12, 184, 16, 19	divdird 10275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
189	188	oveq2d 6212	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
190	187, 189	eqtr4d 2426	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
191	190	oveq1d 6211	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
192	170, 191	eqtrd 2423	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
193	166, 192	breqtrrd 4393	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( Re ` B ) )
194		subneg 9781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
195	9, 194	mpancom 667	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
196	195	eqeq1d 2384	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
197	9, 128	subeq0ad 9854	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
198	196, 197	bitr3d 255	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
199	198	necon3bid 2640	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( abs ` A ) =/= -u A ) )
200	199	biimpa 482	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) =/= -u A )
201		resqcl 12138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR )
202		ax-icn 9462	. . . . . . . . . . . . 13 |- _i e. CC
203		sqmul 12134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
204	202, 168, 203	sylancr 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
205		i2 12171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i ^ 2 ) = -u 1 )
207	206, 113	oveq12d 6214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. A ) )
208		mulm1 9916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
209	208	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
210	204, 207, 209	3eqtrd 2427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = -u A )
211	210	eleq1d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR <-> -u A e. RR ) )
212	201, 211	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> -u A e. RR ) )
213		renegcl 9795	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. RR -> -u -u A e. RR )
214	141	eleq1d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u -u A e. RR <-> A e. RR ) )
215	213, 214	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( -u A e. RR -> A e. RR ) )
216	110, 212, 215	sylsyld 56	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A e. RR ) )
217		sqge0 12147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) )
218	210	breq2d 4379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) <-> 0 <_ -u A ) )
219	217, 218	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ -u A ) )
220		le0neg1 9978	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
221	220	biimprcd 225	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ -u A -> ( A e. RR -> A <_ 0 ) )
222	219, 216, 221	syl6c 64	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A <_ 0 ) )
223	216, 222	jcad 531	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( A e. RR /\ A <_ 0 ) ) )
224		absnid 13133	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
225	223, 224	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( abs ` A ) = -u A ) )
226	225	necon3ad 2592	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) =/= -u A -> -. ( _i x. B ) e. RR ) )
227	200, 226	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR )
228		rpre 11145	. . . 4 |- ( ( _i x. B ) e. RR+ -> ( _i x. B ) e. RR )
229	227, 228	nsyl 121	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
230		df-nel 2580	. . 3 |- ( ( _i x. B ) e/ RR+ <-> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
231	229, 230	sylibr 212	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i x. B ) e/ RR+ )
232	113, 193, 231	3jca 1174	1 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   e/ wnel 2578   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   _ici 9405   + caddc 9406   x. cmul 9408   < clt 9539   <_ cle 9540   - cmin 9718   -ucneg 9719   / cdiv 10123   2c2 10502   RR+crp 11139   ^cexp 12069   *ccj 12931   Recre 12932   sqrcsqrt 13068   abscabs 13069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071

This theorem is referenced by:  sqreu  13195  cphsqrtcl2  21718