Theorem sqreulem 12118

Description: Lemma for sqreu 12119: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqreulem.1	|- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sqreulem	|- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqreulem.1	. . . . 5 |- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
2	1	oveq1i 6050	. . . 4 |- ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 )
3		abscl 12038	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
4		absge0 12047	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
5		resqrcl 12014	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
7	6	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
8	7	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
9	3	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
10		addcl 9028	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
11	9, 10	mpancom 651	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
12	11	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
13		abscl 12038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
14	11, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
15	14	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
16	15	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
17	11	abs00ad 12050	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
18	17	necon3bid 2602	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) )
19	18	biimpar 472	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 )
20	12, 16, 19	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
21	8, 20	sqmuld 11490	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
22	2, 21	syl5eq 2448	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
23	3	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
24	4	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
25		resqrth 12016	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
27	12, 16, 19	sqdivd 11491	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) )
28		absvalsq 12040	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
29		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
30		mulass 9034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
31	29, 30	mp3an1 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
32	9, 31	mpancom 651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
33		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
34	29, 9, 33	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
35		mulcom 9032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
36	34, 35	mpancom 651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
37	32, 36	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
38	28, 37	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
39		cjcl 11865	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
40		adddi 9035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC ) -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
41	39, 34, 40	mpd3an23 1281	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
42	38, 41	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
43		sqval 11396	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
44	42, 43	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
45		binom2 11451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
46	9, 45	mpancom 651	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
47		id 20	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A e. CC )
48	39, 34	addcld 9063	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
49	47, 48, 47	adddid 9068	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
51	9, 34	mulcld 9064	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
52	9, 39	mulcld 9064	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) e. CC )
53	51, 52	addcomd 9224	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
54	9, 9	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) e. CC )
55	54	2timesd 10166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) )
56		mul12 9188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
57	29, 56	mp3an1 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
58	9, 9, 57	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
59	9	sqvald 11475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) )
60		mulcom 9032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
61	39, 60	mpdan 650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
62	28, 59, 61	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
63	62	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) )
64	55, 58, 63	3eqtr3rd 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
65	64	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) )
66	9, 39, 34	adddid 9068	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
67	53, 65, 66	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
68	67	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
69		cjadd 11901	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
70	9, 69	mpancom 651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
71	3	cjred 11986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( * ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
72	71	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
73	70, 72	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
74	73	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) )
75	9, 47, 9, 39	muladdd 9447	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
76	74, 75	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
77		absvalsq 12040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
78	11, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
79		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
80	39, 79	mpancom 651	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
81	54, 80	addcld 9063	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) e. CC )
82		mulcl 9030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
83	9, 82	mpancom 651	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
84	81, 52, 83	addassd 9066	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
85	76, 78, 84	3eqtr4d 2446	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
86	9, 48, 47	adddid 9068	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
87	68, 85, 86	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
88	50, 87	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
89	88	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
90	27, 89	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
91	26, 90	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
92		addcl 9028	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
93	48, 92	mpancom 651	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
94	9, 47, 93	mul12d 9231	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
95	94	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
96	95	adantr 452	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
97	9	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
98		mulcl 9030	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
99	93, 98	mpdan 650	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
100	99	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
101	9, 93	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
102	101	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
103		sqeq0 11401	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
104	15, 103	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
105	87	eqeq1d 2412	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
106	104, 105, 17	3bitr3rd 276	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
107	106	necon3bid 2602	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 ) )
108	107	biimpa 471	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 )
109	97, 100, 102, 108	divassd 9781	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
110		simpl 444	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> A e. CC )
111	110, 102, 108	divcan4d 9752	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = A )
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2444	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) = A )
113	22, 91, 112	3eqtrd 2440	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = A )
114	6	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
115	11	addcjd 11972	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
116		2re 10025	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
117	11	recld 11954	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
118		remulcl 9031	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
119	116, 117, 118	sylancr 645	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
120	115, 119	eqeltrd 2478	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
121	120	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
122	14	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
123	121, 122, 19	redivcld 9798	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
124	114, 123	remulcld 9072	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR )
125		sqrge0 12018	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
126	3, 4, 125	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
127	126	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
128		negcl 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
129		releabs 12080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
130	128, 129	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
131		abscl 12038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
132	128, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
133	128	recld 11954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. RR )
134	132, 133	subge0d 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) <-> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) ) )
135	130, 134	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
136		readd 11886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
137	9, 136	mpancom 651	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
138	3	rered 11984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
139		absneg 12037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
140	138, 139	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` -u A ) )
141		negneg 9307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
142	141	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = ( Re ` A ) )
143	128	renegd 11969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = -u ( Re ` -u A ) )
144	142, 143	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = -u ( Re ` -u A ) )
145	140, 144	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) = ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) )
146	132	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. CC )
147	133	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. CC )
148	146, 147	negsubd 9373	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
149	137, 145, 148	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
150	135, 149	breqtrrd 4198	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
151		0re 9047	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
152		2pos 10038	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
153	151, 116, 152	ltleii 9152	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
154		mulge0 9501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) /\ ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
155	116, 153, 154	mpanl12 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
156	117, 150, 155	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
157	156, 115	breqtrrd 4198	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
158	157	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
159		absge0 12047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
160	12, 159	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
161	122, 160, 19	ne0gt0d 9166	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
162		divge0 9835	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
163	121, 158, 122, 161, 162	syl22anc 1185	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
164	114, 123, 127, 163	mulge0d 9559	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
165		divge0 9835	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
166	116, 152, 165	mpanr12 667	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
167	124, 164, 166	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
168	8, 20	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. CC )
169	1, 168	syl5eqel 2488	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> B e. CC )
170		reval 11866	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
171	169, 170	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
172	1	oveq1i 6050	. . . . . . 7 |- ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
173	1	fveq2i 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( * ` B ) = ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
174	8, 20	cjmuld 11981	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
175	173, 174	syl5eq 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
176	6	cjred 11986	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
177	176	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
178	12, 16, 19	cjdivd 11983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
179	122	cjred 11986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
180	179	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
181	178, 180	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
182	177, 181	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
183	175, 182	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
184	183	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
185	12	cjcld 11956	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
186	185, 16, 19	divcld 9746	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
187	8, 20, 186	adddid 9068	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
188	172, 184, 187	3eqtr4a 2462	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
189	12, 185, 16, 19	divdird 9784	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
190	189	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
191	188, 190	eqtr4d 2439	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
192	191	oveq1d 6055	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
193	171, 192	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
194	167, 193	breqtrrd 4198	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( Re ` B ) )
195		subneg 9306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
196	9, 195	mpancom 651	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
197	196	eqeq1d 2412	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
198	9, 128	subeq0ad 9377	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
199	197, 198	bitr3d 247	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
200	199	necon3bid 2602	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( abs ` A ) =/= -u A ) )
201	200	biimpa 471	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) =/= -u A )
202		resqcl 11404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR )
203		ax-icn 9005	. . . . . . . . . . . . 13 |- _i e. CC
204		sqmul 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
205	203, 169, 204	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
206		i2 11436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i ^ 2 ) = -u 1 )
208	207, 113	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. A ) )
209		mulm1 9431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
210	209	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
211	205, 208, 210	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = -u A )
212	211	eleq1d 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR <-> -u A e. RR ) )
213	202, 212	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> -u A e. RR ) )
214		renegcl 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. RR -> -u -u A e. RR )
215	141	eleq1d 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u -u A e. RR <-> A e. RR ) )
216	214, 215	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( -u A e. RR -> A e. RR ) )
217	110, 213, 216	sylsyld 54	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A e. RR ) )
218		sqge0 11413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) )
219	211	breq2d 4184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) <-> 0 <_ -u A ) )
220	218, 219	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ -u A ) )
221		le0neg1 9492	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
222	221	biimprcd 217	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ -u A -> ( A e. RR -> A <_ 0 ) )
223	220, 217, 222	syl6c 62	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A <_ 0 ) )
224	217, 223	jcad 520	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( A e. RR /\ A <_ 0 ) ) )
225		absnid 12058	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
226	224, 225	syl6 31	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( abs ` A ) = -u A ) )
227	226	necon3ad 2603	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) =/= -u A -> -. ( _i x. B ) e. RR ) )
228	201, 227	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR )
229		rpre 10574	. . . 4 |- ( ( _i x. B ) e. RR+ -> ( _i x. B ) e. RR )
230	228, 229	nsyl 115	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
231		df-nel 2570	. . 3 |- ( ( _i x. B ) e/ RR+ <-> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
232	230, 231	sylibr 204	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i x. B ) e/ RR+ )
233	113, 194, 232	3jca 1134	1 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   e/ wnel 2568   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   ^cexp 11337   *ccj 11856   Recre 11857   sqrcsqr 11993   abscabs 11994

This theorem is referenced by:  sqreu  12119  cphsqrcl2  19102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996