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Theorem sqreulem 12859
Description: Lemma for sqreu 12860: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
sqreulem.1  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqreulem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem
StepHypRef Expression
1 sqreulem.1 . . . . 5  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
21oveq1i 6113 . . . 4  |-  ( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )
3 abscl 12779 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
4 absge0 12788 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
5 resqrcl 12755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
76recnd 9424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  CC )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  CC )
93recnd 9424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10 addcl 9376 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
119, 10mpancom 669 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
13 abscl 12779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1411, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1514recnd 9424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
1711abs00ad 12791 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1817necon3bid 2655 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 ) )
1918biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0 )
2012, 16, 19divcld 10119 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
218, 20sqmuld 12032 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
222, 21syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
233adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
244adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
25 resqrth 12757 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2712, 16, 19sqdivd 12033 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  / 
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) ) )
28 absvalsq 12781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
29 2cn 10404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
30 mulass 9382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
3129, 30mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( abs `  A
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
329, 31mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
33 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
3429, 9, 33sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
35 mulcom 9380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3634, 35mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3732, 36eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A ) )  =  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3828, 37oveq12d 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
39 cjcl 12606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
40 adddi 9383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4139, 34, 40mpd3an23 1316 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
* `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4238, 41eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
43 sqval 11937 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
4442, 43oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
45 binom2 11993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
469, 45mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
47 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
4839, 34addcld 9417 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
4947, 48, 47adddid 9422 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
5044, 46, 493eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
519, 34mulcld 9418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
529, 39mulcld 9418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  e.  CC )
5351, 52addcomd 9583 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
549, 9mulcld 9418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
55542timesd 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) ) )
56 mul12 9547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
5729, 56mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
589, 9, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
599sqvald 12017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) )
60 mulcom 9380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  A ) )
6139, 60mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6228, 59, 613eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6362oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) ) )
6455, 58, 633eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
6564oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) ) )
669, 39, 34adddid 9422 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
6753, 65, 663eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
6867oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
69 cjadd 12642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A
) ) )
709, 69mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `
 A ) ) )
713cjred 12727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
7271oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7370, 72eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7473oveq2d 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) ) )
759, 47, 9, 39muladdd 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
7674, 75eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
77 absvalsq 12781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
7811, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
79 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  A
)  e.  CC )
8039, 79mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8154, 80addcld 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  e.  CC )
82 mulcl 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
839, 82mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8481, 52, 83addassd 9420 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
8576, 78, 843eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) )
869, 48, 47adddid 9422 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
8768, 85, 863eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
8850, 87oveq12d 6121 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
8988adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A ) ^
2 )  /  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9027, 89eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9126, 90oveq12d 6121 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
92 addcl 9376 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
9348, 92mpancom 669 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
949, 47, 93mul12d 9590 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9594oveq1d 6118 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
9695adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
979adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
98 mulcl 9378 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
9993, 98mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
10099adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
1019, 93mulcld 9418 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
102101adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
103 sqeq0 11942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10415, 103syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10587eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
106104, 105, 173bitr3rd 284 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
107106necon3bid 2655 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =/=  0 ) )
108107biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =/=  0 )
10997, 100, 102, 108divassd 10154 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
110 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
111110, 102, 108divcan4d 10125 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  A )
11296, 109, 1113eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )  =  A )
11322, 91, 1123eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  A )
1146adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  RR )
11511addcjd 12713 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
116 2re 10403 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
11711recld 12695 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )
118 remulcl 9379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) )  e.  RR )
119116, 117, 118sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
120115, 119eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR )
121120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
12214adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR )
123121, 122, 19redivcld 10171 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
124114, 123remulcld 9426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR )
125 sqrge0 12759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
1263, 4, 125syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
127126adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )
128 negcl 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
129 releabs 12821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( Re `  -u A
)  <_  ( abs `  -u A ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A
) )
131 abscl 12779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  e.  RR )
132128, 131syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  RR )
133128recld 12695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  RR )
134132, 133subge0d 9941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( ( abs `  -u A )  -  ( Re `  -u A
) )  <->  ( Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A ) ) )
135130, 134mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
136 readd 12627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
1379, 136mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re
`  A ) ) )
1383rered 12725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
139 absneg 12778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
140138, 139eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  -u A
) )
141 negneg 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
142141fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  ( Re
`  A ) )
143128renegd 12710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  -u (
Re `  -u A ) )
144142, 143eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  -u ( Re `  -u A ) )
145140, 144oveq12d 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) ) )
146132recnd 9424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  CC )
147133recnd 9424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  CC )
148146, 147negsubd 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
149137, 145, 1483eqtrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
150135, 149breqtrrd 4330 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
151 0le2 10424 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
152 mulge0 9869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
153116, 151, 152mpanl12 682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
154117, 150, 153syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
155154, 115breqtrrd 4330 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
156155adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
157 absge0 12788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
15812, 157syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
159122, 158, 19ne0gt0d 9523 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
160 divge0 10210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
161121, 156, 122, 159, 160syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
162114, 123, 127, 161mulge0d 9928 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
163 2pos 10425 . . . . 5  |-  0  <  2
164 divge0 10210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
165116, 163, 164mpanr12 685 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
166124, 162, 165syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
1678, 20mulcld 9418 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  CC )
1681, 167syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
169 reval 12607 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  =  ( ( B  +  ( * `  B ) )  / 
2 ) )
170168, 169syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( B  +  ( * `
 B ) )  /  2 ) )
1711oveq1i 6113 . . . . . . 7  |-  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
1721fveq2i 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( * `
 B )  =  ( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
1738, 20cjmuld 12722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `
 ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
174172, 173syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  x.  ( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
1756cjred 12727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
176175adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
17712, 16, 19cjdivd 12724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
178122cjred 12727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
179178oveq2d 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
180177, 179eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
181176, 180oveq12d 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
182174, 181eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
183182oveq2d 6119 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
18412cjcld 12697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
185184, 16, 19divcld 10119 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
1868, 20, 185adddid 9422 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) ) )
187171, 183, 1863eqtr4a 2501 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
18812, 184, 16, 19divdird 10157 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
189188oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
190187, 189eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
191190oveq1d 6118 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B  +  ( * `  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
192170, 191eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
193166, 192breqtrrd 4330 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  B ) )
194 subneg 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
1959, 194mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
196195eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1979, 128subeq0ad 9741 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  ( abs `  A )  = 
-u A ) )
198196, 197bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  -u A ) )
199198necon3bid 2655 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  -u A
) )
200199biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  -u A
)
201 resqcl 11945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  e.  RR )
202 ax-icn 9353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
203 sqmul 11941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
204202, 168, 203sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
205 i2 11978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i ^ 2 )  =  -u 1
)
207206, 113oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  A ) )
208 mulm1 9798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
209208adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  A
)  =  -u A
)
210204, 207, 2093eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  -u A
)
211210eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( _i  x.  B ) ^
2 )  e.  RR  <->  -u A  e.  RR ) )
212201, 211syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  -> 
-u A  e.  RR ) )
213 renegcl 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u -u A  e.  RR )
214141eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
215213, 214syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
216110, 212, 215sylsyld 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
217 sqge0 11954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 ) )
218210breq2d 4316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( 0  <_  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  <->  0  <_  -u A ) )
219217, 218syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  -u A ) )
220 le0neg1 9859 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
221220biimprcd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  -u A  ->  ( A  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
222219, 216, 221syl6c 64 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
223216, 222jcad 533 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 ) ) )
224 absnid 12799 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
225223, 224syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
) )
226225necon3ad 2656 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  =/=  -u A  ->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR ) )
227200, 226mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR )
228 rpre 11009 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR+  ->  ( _i  x.  B )  e.  RR )
229227, 228nsyl 121 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR+ )
230 df-nel 2621 . . 3  |-  ( ( _i  x.  B )  e/  RR+  <->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR+ )
231229, 230sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  B
)  e/  RR+ )
232113, 193, 2313jca 1168 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    e/ wnel 2619   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   _ici 9296    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607   -ucneg 9608    / cdiv 10005   2c2 10383   RR+crp 11003   ^cexp 11877   *ccj 12597   Recre 12598   sqrcsqr 12734   abscabs 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737
This theorem is referenced by:  sqreu  12860  cphsqrcl2  20717
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