Theorem sqreulem 13154

Description: Lemma for sqreu 13155: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrteulem.1	|- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sqreulem	|- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrteulem.1	. . . . 5 |- B = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
2	1	oveq1i 6293	. . . 4 |- ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 )
3		abscl 13073	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
4		absge0 13082	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
5		resqrtcl 13049	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
7	6	recnd 9621	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
8	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. CC )
9	3	recnd 9621	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
10		addcl 9573	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
11	9, 10	mpancom 669	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
12	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) + A ) e. CC )
13		abscl 13073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
14	11, 13	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
15	14	recnd 9621	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
17	11	abs00ad 13085	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
18	17	necon3bid 2725	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) )
19	18	biimpar 485	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) =/= 0 )
20	12, 16, 19	divcld 10319	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
21	8, 20	sqmuld 12289	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
22	2, 21	syl5eq 2520	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) )
23	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
24	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
25		resqrtth 13051	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) = ( abs ` A ) )
27	12, 16, 19	sqdivd 12290	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) )
28		absvalsq 13075	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
29		2cn 10605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
30		mulass 9579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
31	29, 30	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
32	9, 31	mpancom 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
33		mulcl 9575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
34	29, 9, 33	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC )
35		mulcom 9577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
36	34, 35	mpancom 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) x. A ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
37	32, 36	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
38	28, 37	oveq12d 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
39		cjcl 12900	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
40		adddi 9580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. CC ) -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
41	39, 34, 40	mpd3an23 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( A x. ( * ` A ) ) + ( A x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
42	38, 41	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) = ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
43		sqval 12194	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
44	42, 43	oveq12d 6301	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
45		binom2 12250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
46	9, 45	mpancom 669	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) + ( A ^ 2 ) ) )
47		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> A e. CC )
48	39, 34	addcld 9614	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
49	47, 48, 47	adddid 9619	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( A x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( A x. A ) ) )
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2518	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) = ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
51	9, 34	mulcld 9615	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC )
52	9, 39	mulcld 9615	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) e. CC )
53	51, 52	addcomd 9780	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
54	9, 9	mulcld 9615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) e. CC )
55	54	2timesd 10780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) )
56		mul12 9744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
57	29, 56	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` A ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
58	9, 9, 57	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
59	9	sqvald 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) )
60		mulcom 9577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
61	39, 60	mpdan 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
62	28, 59, 61	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
63	62	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) )
64	55, 58, 63	3eqtr3rd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) )
65	64	oveq1d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) )
66	9, 39, 34	adddid 9619	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
67	53, 65, 66	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) )
68	67	oveq1d 6298	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
69		cjadd 12936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
70	9, 69	mpancom 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) )
71	3	cjred 13021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( * ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
72	71	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( ( * ` ( abs ` A ) ) + ( * ` A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
73	70, 72	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) )
74	73	oveq2d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) )
75	9, 47, 9, 39	muladdd 10013	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( ( abs ` A ) + ( * ` A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
76	74, 75	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
77		absvalsq 13075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
78	11, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( abs ` A ) + A ) x. ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
79		mulcl 9575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( * ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
80	39, 79	mpancom 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) x. A ) e. CC )
81	54, 80	addcld 9614	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) e. CC )
82		mulcl 9575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
83	9, 82	mpancom 669	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. A ) e. CC )
84	81, 52, 83	addassd 9617	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) ) )
85	76, 78, 84	3eqtr4d 2518	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( ( abs ` A ) x. ( abs ` A ) ) + ( ( * ` A ) x. A ) ) + ( ( abs ` A ) x. ( * ` A ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
86	9, 48, 47	adddid 9619	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = ( ( ( abs ` A ) x. ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) ) + ( ( abs ` A ) x. A ) ) )
87	68, 85, 86	3eqtr4d 2518	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) )
88	50, 87	oveq12d 6301	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
89	88	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) ^ 2 ) / ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
90	27, 89	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
91	26, 90	oveq12d 6301	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) ^ 2 ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
92		addcl 9573	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
93	48, 92	mpancom 669	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC )
94	9, 47, 93	mul12d 9787	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
95	94	oveq1d 6298	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
96	95	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) )
97	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
98		mulcl 9575	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) e. CC ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
99	93, 98	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
100	99	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
101	9, 93	mulcld 9615	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
102	101	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) e. CC )
103		sqeq0 12199	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
104	15, 103	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = 0 ) )
105	87	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
106	104, 105, 17	3bitr3rd 284	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) = 0 ) )
107	106	necon3bid 2725	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 ) )
108	107	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) =/= 0 )
109	97, 100, 102, 108	divassd 10354	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) )
110		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> A e. CC )
111	110, 102, 108	divcan4d 10325	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( A x. ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) = A )
112	96, 109, 111	3eqtr3d 2516	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( A x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) / ( ( abs ` A ) x. ( ( ( * ` A ) + ( 2 x. ( abs ` A ) ) ) + A ) ) ) ) = A )
113	22, 91, 112	3eqtrd 2512	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B ^ 2 ) = A )
114	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( sqr ` ( abs ` A ) ) e. RR )
115	11	addcjd 13007	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
116		2re 10604	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
117	11	recld 12989	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
118		remulcl 9576	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
119	116, 117, 118	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
120	115, 119	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
121	120	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
122	14	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR )
123	121, 122, 19	redivcld 10371	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR )
124	114, 123	remulcld 9623	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR )
125		sqrtge0 13053	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
126	3, 4, 125	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
127	126	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
128		negcl 9819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
129		releabs 13116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
130	128, 129	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) )
131		abscl 13073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
132	128, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. RR )
133	128	recld 12989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. RR )
134	132, 133	subge0d 10141	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) <-> ( Re ` -u A ) <_ ( abs ` -u A ) ) )
135	130, 134	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
136		readd 12921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
137	9, 136	mpancom 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) )
138	3	rered 13019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
139		absneg 13072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) = ( abs ` A ) )
140	138, 139	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( abs ` A ) ) = ( abs ` -u A ) )
141		negneg 9868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
142	141	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = ( Re ` A ) )
143	128	renegd 13004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u -u A ) = -u ( Re ` -u A ) )
144	142, 143	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = -u ( Re ` -u A ) )
145	140, 144	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` ( abs ` A ) ) + ( Re ` A ) ) = ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) )
146	132	recnd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u A ) e. CC )
147	133	recnd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) e. CC )
148	146, 147	negsubd 9935	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u A ) + -u ( Re ` -u A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
149	137, 145, 148	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) = ( ( abs ` -u A ) - ( Re ` -u A ) ) )
150	135, 149	breqtrrd 4473	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
151		0le2 10625	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 2
152		mulge0 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) /\ ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
153	116, 151, 152	mpanl12 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
154	117, 150, 153	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( 2 x. ( Re ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
155	154, 115	breqtrrd 4473	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
156	155	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
157		absge0 13082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) + A ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
158	12, 157	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
159	122, 158, 19	ne0gt0d 9720	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
160		divge0 10410	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. RR /\ 0 < ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
161	121, 156, 122, 159, 160	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
162	114, 123, 127, 161	mulge0d 10128	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
163		2pos 10626	. . . . 5 |- 0 < 2
164		divge0 10410	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
165	116, 163, 164	mpanr12 685	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
166	124, 162, 165	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
167	8, 20	mulcld 9615	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) e. CC )
168	1, 167	syl5eqel 2559	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> B e. CC )
169		reval 12901	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
170	168, 169	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) )
171	1	oveq1i 6293	. . . . . . 7 |- ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
172	1	fveq2i 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( * ` B ) = ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
173	8, 20	cjmuld 13016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
174	172, 173	syl5eq 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
175	6	cjred 13021	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
176	175	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) = ( sqr ` ( abs ` A ) ) )
177	12, 16, 19	cjdivd 13018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
178	122	cjred 13021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) )
179	178	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( * ` ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
180	177, 179	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) )
181	176, 180	oveq12d 6301	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( sqr ` ( abs ` A ) ) ) x. ( * ` ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
182	174, 181	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` B ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
183	182	oveq2d 6299	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( B + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
184	12	cjcld 12991	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) e. CC )
185	184, 16, 19	divcld 10319	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) e. CC )
186	8, 20, 185	adddid 9619	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
187	171, 183, 186	3eqtr4a 2534	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
188	12, 184, 16, 19	divdird 10357	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
189	188	oveq2d 6299	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) + ( ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) ) )
190	187, 189	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( B + ( * ` B ) ) = ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) )
191	190	oveq1d 6298	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B + ( * ` B ) ) / 2 ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
192	170, 191	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( Re ` B ) = ( ( ( sqr ` ( abs ` A ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) + A ) + ( * ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) / ( abs ` ( ( abs ` A ) + A ) ) ) ) / 2 ) )
193	166, 192	breqtrrd 4473	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( Re ` B ) )
194		subneg 9867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
195	9, 194	mpancom 669	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) - -u A ) = ( ( abs ` A ) + A ) )
196	195	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( ( abs ` A ) + A ) = 0 ) )
197	9, 128	subeq0ad 9939	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) - -u A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
198	196, 197	bitr3d 255	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) = 0 <-> ( abs ` A ) = -u A ) )
199	198	necon3bid 2725	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 <-> ( abs ` A ) =/= -u A ) )
200	199	biimpa 484	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( abs ` A ) =/= -u A )
201		resqcl 12202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR )
202		ax-icn 9550	. . . . . . . . . . . . 13 |- _i e. CC
203		sqmul 12198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
204	202, 168, 203	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
205		i2 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i ^ 2 ) = -u 1 )
207	206, 113	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. A ) )
208		mulm1 9997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
209	208	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
210	204, 207, 209	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) ^ 2 ) = -u A )
211	210	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( ( _i x. B ) ^ 2 ) e. RR <-> -u A e. RR ) )
212	201, 211	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> -u A e. RR ) )
213		renegcl 9881	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. RR -> -u -u A e. RR )
214	141	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u -u A e. RR <-> A e. RR ) )
215	213, 214	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( -u A e. RR -> A e. RR ) )
216	110, 212, 215	sylsyld 56	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A e. RR ) )
217		sqge0 12211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) )
218	210	breq2d 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( 0 <_ ( ( _i x. B ) ^ 2 ) <-> 0 <_ -u A ) )
219	217, 218	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> 0 <_ -u A ) )
220		le0neg1 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
221	220	biimprcd 225	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ -u A -> ( A e. RR -> A <_ 0 ) )
222	219, 216, 221	syl6c 64	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> A <_ 0 ) )
223	216, 222	jcad 533	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( A e. RR /\ A <_ 0 ) ) )
224		absnid 13093	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( abs ` A ) = -u A )
225	223, 224	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( _i x. B ) e. RR -> ( abs ` A ) = -u A ) )
226	225	necon3ad 2677	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) =/= -u A -> -. ( _i x. B ) e. RR ) )
227	200, 226	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR )
228		rpre 11225	. . . 4 |- ( ( _i x. B ) e. RR+ -> ( _i x. B ) e. RR )
229	227, 228	nsyl 121	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
230		df-nel 2665	. . 3 |- ( ( _i x. B ) e/ RR+ <-> -. ( _i x. B ) e. RR+ )
231	229, 230	sylibr 212	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( _i x. B ) e/ RR+ )
232	113, 193, 231	3jca 1176	1 |- ( ( A e. CC /\ ( ( abs ` A ) + A ) =/= 0 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A /\ 0 <_ ( Re ` B ) /\ ( _i x. B ) e/ RR+ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   e/ wnel 2663   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   _ici 9493   + caddc 9494   x. cmul 9496   < clt 9627   <_ cle 9628   - cmin 9804   -ucneg 9805   / cdiv 10205   2c2 10584   RR+crp 11219   ^cexp 12133   *ccj 12891   Recre 12892   sqrcsqrt 13028   abscabs 13029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031

This theorem is referenced by:  sqreu  13155  cphsqrtcl2  21384