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Theorem sqreulem 13420
Description: Lemma for sqreu 13421: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrteulem.1  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqreulem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )

Proof of Theorem sqreulem
StepHypRef Expression
1 sqrteulem.1 . . . . 5  |-  B  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
21oveq1i 6314 . . . 4  |-  ( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )
3 abscl 13339 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
4 absge0 13348 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
5 resqrtcl 13315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
63, 4, 5syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  RR )
76recnd 9675 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( abs `  A
) )  e.  CC )
87adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  CC )
93recnd 9675 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10 addcl 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
119, 10mpancom 674 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
1211adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC )
13 abscl 13339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1411, 13syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR )
1514recnd 9675 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  CC )
1615adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
1711abs00ad 13351 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1817necon3bid 2683 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 ) )
1918biimpar 488 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =/=  0 )
2012, 16, 19divcld 10389 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
218, 20sqmuld 12433 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
222, 21syl5eq 2476 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) ) )
233adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
244adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
25 resqrtth 13317 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2623, 24, 25syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) ) ^ 2 )  =  ( abs `  A
) )
2712, 16, 19sqdivd 12434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  / 
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) ) )
28 absvalsq 13341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
29 2cn 10686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
30 mulass 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
3129, 30mp3an1 1348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( abs `  A
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
329, 31mpancom 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )
33 mulcl 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
3429, 9, 33sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
35 mulcom 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3634, 35mpancom 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( abs `  A ) )  x.  A )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3732, 36eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A ) )  =  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
3828, 37oveq12d 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( ( A  x.  (
* `  A )
)  +  ( A  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
39 cjcl 13166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
40 adddi 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4139, 34, 40mpd3an23 1363 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
* `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( * `  A ) )  +  ( A  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
4238, 41eqtr4d 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
43 sqval 12339 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
4442, 43oveq12d 6322 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
45 binom2 12394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
469, 45mpancom 674 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  A ) ) )  +  ( A ^ 2 ) ) )
47 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
4839, 34addcld 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
4947, 48, 47adddid 9673 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( A  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) )  +  ( A  x.  A ) ) )
5044, 46, 493eqtr4d 2474 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A ) ^ 2 )  =  ( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
519, 34mulcld 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e.  CC )
529, 39mulcld 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  e.  CC )
5351, 52addcomd 9841 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
549, 9mulcld 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  e.  CC )
55542timesd 10861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) ) )
56 mul12 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
5729, 56mp3an1 1348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
2  x.  ( abs `  A ) ) ) )
589, 9, 57syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
599sqvald 12418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) ) )
60 mulcom 9631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  A
)  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  A ) )
6139, 60mpdan 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6228, 59, 613eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  =  ( ( * `  A )  x.  A
) )
6362oveq2d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) ) )
6455, 58, 633eqtr3rd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
6564oveq1d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) ) )
669, 39, 34adddid 9673 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )
6753, 65, 663eqtr4d 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )
6867oveq1d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
69 cjadd 13202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A
) ) )
709, 69mpancom 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `
 A ) ) )
713cjred 13287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
7271oveq1d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  ( abs `  A ) )  +  ( * `  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7370, 72eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  A
)  +  ( * `
 A ) ) )
7473oveq2d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) ) )
759, 47, 9, 39muladdd 10082 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( ( abs `  A )  +  ( * `  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
7674, 75eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  x.  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
77 absvalsq 13341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
7811, 77syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  +  A )  x.  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
79 mulcl 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( * `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  A
)  e.  CC )
8039, 79mpancom 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8154, 80addcld 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  e.  CC )
82 mulcl 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
839, 82mpancom 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  A )  e.  CC )
8481, 52, 83addassd 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A
) )  +  ( ( * `  A
)  x.  A ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  ( * `  A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `
 A )  x.  A ) )  +  ( ( ( abs `  A )  x.  (
* `  A )
)  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) ) )
8576, 78, 843eqtr4d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  A ) )  +  ( ( * `  A )  x.  A
) )  +  ( ( abs `  A
)  x.  ( * `
 A ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A ) ) )
869, 48, 47adddid 9673 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  +  ( ( abs `  A )  x.  A
) ) )
8768, 85, 863eqtr4d 2474 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )
8850, 87oveq12d 6322 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( abs `  A )  +  A
) ^ 2 )  /  ( ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
8988adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A ) ^
2 )  /  (
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9027, 89eqtrd 2464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9126, 90oveq12d 6322 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( sqr `  ( abs `  A
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
92 addcl 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
9348, 92mpancom 674 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )
949, 47, 93mul12d 9848 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  =  ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )
9594oveq1d 6319 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
9695adantr 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) ) )
979adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  CC )
98 mulcl 9629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
9993, 98mpdan 673 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
10099adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( A  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  e.  CC )
1019, 93mulcld 9669 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
102101adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  e.  CC )
103 sqeq0 12344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10415, 103syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  =  0 ) )
10587eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
106104, 105, 173bitr3rd 288 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =  0 ) )
107106necon3bid 2683 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( ( abs `  A )  x.  ( ( ( * `
 A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) )  =/=  0 ) )
108107biimpa 487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  =/=  0 )
10997, 100, 102, 108divassd 10424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  x.  ( A  x.  ( (
( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) ) )
110 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
111110, 102, 108divcan4d 10395 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( A  x.  ( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) )  /  ( ( abs `  A )  x.  (
( ( * `  A )  +  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  A ) ) )  =  A )
11296, 109, 1113eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( A  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) )  / 
( ( abs `  A
)  x.  ( ( ( * `  A
)  +  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  A ) ) ) )  =  A )
11322, 91, 1123eqtrd 2468 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  A )
1146adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( sqr `  ( abs `  A ) )  e.  RR )
11511addcjd 13273 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  =  ( 2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
116 2re 10685 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
11711recld 13255 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )
118 remulcl 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) )  e.  RR )
119116, 117, 118sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
120115, 119eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR )
121120adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
12214adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR )
123121, 122, 19redivcld 10441 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  e.  RR )
124114, 123remulcld 9677 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR )
125 sqrtge0 13319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
1263, 4, 125syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
127126adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )
128 negcl 9881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
129 releabs 13382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( Re `  -u A
)  <_  ( abs `  -u A ) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A
) )
131 abscl 13339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A
)  e.  RR )
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  RR )
133128recld 13255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  RR )
134132, 133subge0d 10209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  <_  ( ( abs `  -u A )  -  ( Re `  -u A
) )  <->  ( Re `  -u A )  <_  ( abs `  -u A ) ) )
135130, 134mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
136 readd 13187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A
) ) )
1379, 136mpancom 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re
`  A ) ) )
1383rered 13285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
139 absneg 13338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  =  ( abs `  A
) )
140138, 139eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  -u A
) )
141 negneg 9930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
142141fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  ( Re
`  A ) )
143128renegd 13270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u -u A
)  =  -u (
Re `  -u A ) )
144142, 143eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  =  -u ( Re `  -u A ) )
145140, 144oveq12d 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  ( abs `  A ) )  +  ( Re `  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) ) )
146132recnd 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u A )  e.  CC )
147133recnd 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  -u A )  e.  CC )
148146, 147negsubd 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  -u A
)  +  -u (
Re `  -u A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
149137, 145, 1483eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) )  =  ( ( abs `  -u A
)  -  ( Re
`  -u A ) ) )
150135, 149breqtrrd 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
151 0le2 10706 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  2
152 mulge0 10138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( Re
`  ( ( abs `  A )  +  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
153116, 151, 152mpanl12 687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( Re `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
154117, 150, 153syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( 2  x.  (
Re `  ( ( abs `  A )  +  A ) ) ) )
155154, 115breqtrrd 4449 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
156155adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
157 absge0 13348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  A )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
15812, 157syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
159122, 158, 19ne0gt0d 9778 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )
160 divge0 10480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
161121, 156, 122, 159, 160syl22anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )
162114, 123, 127, 161mulge0d 10196 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
163 2pos 10707 . . . . 5  |-  0  <  2
164 divge0 10480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  +  ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
165116, 163, 164mpanr12 690 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
166124, 162, 165syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
1678, 20mulcld 9669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  e.  CC )
1681, 167syl5eqel 2515 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
169 reval 13167 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  =  ( ( B  +  ( * `  B ) )  / 
2 ) )
170168, 169syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( B  +  ( * `
 B ) )  /  2 ) )
1711oveq1i 6314 . . . . . . 7  |-  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
1721fveq2i 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( * `
 B )  =  ( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
1738, 20cjmuld 13282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( * `
 ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `
 ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
174172, 173syl5eq 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  x.  ( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
1756cjred 13287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
176175adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( sqr `  ( abs `  A
) ) )  =  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )
17712, 16, 19cjdivd 13284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
178122cjred 13287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )
179178oveq2d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( * `
 ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
180177, 179eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )
181176, 180oveq12d 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( sqr `  ( abs `  A ) ) )  x.  ( * `  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
182174, 181eqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  B
)  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
183182oveq2d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( B  +  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
18412cjcld 13257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  e.  CC )
185184, 16, 19divcld 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  e.  CC )
1868, 20, 185adddid 9673 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  /  ( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( * `
 ( ( abs `  A )  +  A
) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) ) )
187171, 183, 1863eqtr4a 2490 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
18812, 184, 16, 19divdird 10427 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  / 
( abs `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) )
189188oveq2d 6320 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A
) )  x.  (
( ( ( abs `  A )  +  A
)  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  +  ( ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) ) ) ) )
190187, 189eqtr4d 2467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( B  +  ( * `  B ) )  =  ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A )  +  A )  +  ( * `  (
( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) ) )
191190oveq1d 6319 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B  +  ( * `  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
192170, 191eqtrd 2464 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( Re `  B
)  =  ( ( ( sqr `  ( abs `  A ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
)  +  A )  +  ( * `  ( ( abs `  A
)  +  A ) ) )  /  ( abs `  ( ( abs `  A )  +  A
) ) ) )  /  2 ) )
193166, 192breqtrrd 4449 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  B ) )
194 subneg 9929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
1959, 194mpancom 674 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
)  -  -u A
)  =  ( ( abs `  A )  +  A ) )
196195eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  (
( abs `  A
)  +  A )  =  0 ) )
1979, 128subeq0ad 10002 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  -  -u A
)  =  0  <->  ( abs `  A )  = 
-u A ) )
198196, 197bitr3d 259 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =  0  <->  ( abs `  A )  =  -u A ) )
199198necon3bid 2683 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =/=  -u A
) )
200199biimpa 487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  =/=  -u A
)
201 resqcl 12347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  e.  RR )
202 ax-icn 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
203 sqmul 12343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
204202, 168, 203sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( _i ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
205 i2 12380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i ^ 2 )  =  -u 1
)
207206, 113oveq12d 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  A ) )
208 mulm1 10066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  A )  =  -u A )
209208adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( -u 1  x.  A
)  =  -u A
)
210204, 207, 2093eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B ) ^ 2 )  =  -u A
)
211210eleq1d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( ( _i  x.  B ) ^
2 )  e.  RR  <->  -u A  e.  RR ) )
212201, 211syl5ib 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  -> 
-u A  e.  RR ) )
213 renegcl 9943 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  RR  ->  -u -u A  e.  RR )
214141eleq1d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u -u A  e.  RR  <->  A  e.  RR ) )
215213, 214syl5ib 223 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
216110, 212, 215sylsyld 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  e.  RR ) )
217 sqge0 12356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  ( ( _i  x.  B ) ^ 2 ) )
218210breq2d 4434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( 0  <_  (
( _i  x.  B
) ^ 2 )  <->  0  <_  -u A ) )
219217, 218syl5ib 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  0  <_  -u A ) )
220 le0neg1 10128 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
221220biimprcd 229 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  -u A  ->  ( A  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
222219, 216, 221syl6c 67 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  A  <_  0 ) )
223216, 222jcad 536 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 ) ) )
224 absnid 13359 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
225223, 224syl6 35 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( _i  x.  B )  e.  RR  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
) )
226225necon3ad 2635 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  A
)  =/=  -u A  ->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR ) )
227200, 226mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR )
228 rpre 11314 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  B )  e.  RR+  ->  ( _i  x.  B )  e.  RR )
229227, 228nsyl 125 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  ->  -.  ( _i  x.  B
)  e.  RR+ )
230 df-nel 2622 . . 3  |-  ( ( _i  x.  B )  e/  RR+  <->  -.  ( _i  x.  B )  e.  RR+ )
231229, 230sylibr 216 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  B
)  e/  RR+ )
232113, 193, 2313jca 1186 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A
)  +  A )  =/=  0 )  -> 
( ( B ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  B )  /\  ( _i  x.  B
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619    e/ wnel 2620   class class class wbr 4422   ` cfv 5600  (class class class)co 6304   CCcc 9543   RRcr 9544   0cc0 9545   1c1 9546   _ici 9547    + caddc 9548    x. cmul 9550    < clt 9681    <_ cle 9682    - cmin 9866   -ucneg 9867    / cdiv 10275   2c2 10665   RR+crp 11308   ^cexp 12277   *ccj 13157   Recre 13158   sqrcsqrt 13294   abscabs 13295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-er 7373  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-sup 7964  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-n0 10876  df-z 10944  df-uz 11166  df-rp 11309  df-seq 12219  df-exp 12278  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297
This theorem is referenced by:  sqreu  13421  cphsqrtcl2  22160
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