Theorem subge0d 10496

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 10420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  ofsubge0  10896  uzsubsubfz  12234  modsubdir  12601  modsumfzodifsn  12605  serle  12718  discr  12863  bcval5  12967  fzomaxdiflem  13930  sqreulem  13947  amgm2  13957  climle  14218  rlimle  14226  iseralt  14263  fsumle  14372  cvgcmp  14389  binomrisefac  14612  smuval2  15042  pcz  15423  4sqlem15  15501  mndodconglem  17783  ipcau2  22841  pjthlem1  23016  ovolicc2lem4  23095  vitalilem2  23184  itg1lea  23285  dvlip  23560  dvge0  23573  dvle  23574  dvivthlem1  23575  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem4  23596  loglesqrt  24299  emcllem6  24527  harmoniclbnd  24535  basellem9  24615  gausslemma2dlem0h  24888  lgseisenlem1  24900  vmadivsum  24971  rplogsumlem1  24973  dchrisumlem2  24979  rplogsum  25016  vmalogdivsum2  25027  selberg2lem  25039  logdivbnd  25045  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntlemg  25087  pntlemn  25089  ttgcontlem1  25565  brbtwn2  25585  axpaschlem  25620  axcontlem8  25651  clwlkisclwwlklem2a1  26307  clwlkisclwwlklem2fv2  26311  pjhthlem1  27634  leop2  28367  pjssposi  28415  2sqmod  28979  rddif2  31637  dnibndlem4  31641  broucube  32613  areacirclem2  32671  areacirclem4  32673  areacirclem5  32674  areacirc  32675  acongrep  36565  lptre2pt  38707  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  stoweidlem1  38894  stoweidlem26  38919  stoweidlem62  38955  wallispilem4  38961  fourierdlem26  39026  fourierdlem42  39042  fourierdlem65  39064  fourierdlem75  39074  elaa2lem  39126  etransclem3  39130  etransclem7  39134  etransclem10  39137  etransclem20  39147  etransclem21  39148  etransclem22  39149  etransclem24  39151  etransclem27  39154  hoidmvlelem1  39485  crctcsh  41027  clwlkclwwlklem2a1  41201  clwlkclwwlklem2fv2  41205  nnpw2pmod  42175