Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem4 23596
 Description: Lemma for dvfsumrlim 23598. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsumlem4.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumlem4.0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsumlem4.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem4.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem4.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem4.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem4.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑆)
2 fzfid 12634 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5 elfzuz 12209 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘𝑍)
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
98eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
109rspccva 3281 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122, 11fsumrecl 14312 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . 9 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
1615nfel1 2765 . . . . . . . 8 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3508 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
1817eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3276 . . . . . . 7 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
201, 14, 19sylc 63 . . . . . 6 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2112, 20resubcld 10337 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
22 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥𝑌
23 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥
2523, 24, 15nfov 6575 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
26 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
2726oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
2827sumeq1d 14279 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
2928, 17oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
3122, 25, 29, 30fvmptf 6209 . . . . 5 ((𝑌𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
321, 21, 31syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
34 fzfid 12634 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35 elfzuz 12209 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
374, 36, 10syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
3834, 37fsumrecl 14312 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . 9 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴
4039nfel1 2765 . . . . . . . 8 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
41 csbeq1a 3508 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
4241eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4340, 42rspc 3276 . . . . . . 7 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4433, 14, 43sylc 63 . . . . . 6 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4538, 44resubcld 10337 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
46 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥𝑋
47 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
4847, 24, 39nfov 6575 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)
49 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
5049oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
5150sumeq1d 14279 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
5251, 41oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5346, 48, 52, 30fvmptf 6209 . . . . 5 ((𝑋𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5433, 45, 53syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5532, 54oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
5655fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
58 ioossre 12106 . . . . . . . . . . 11 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
5957, 58eqsstri 3598 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 23591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6463ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
65 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑚 𝐵 ∈ ℝ
66 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
6766nfel1 2765 . . . . . . . 8 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
68 csbeq1a 3508 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
6968eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7065, 67, 69cbvral 3143 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7164, 70sylib 207 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
72 csbeq1 3502 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
7372eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7473rspcv 3278 . . . . . 6 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7533, 71, 74sylc 63 . . . . 5 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7645, 75resubcld 10337 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
7759, 33sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
78 reflcl 12459 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 10337 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
8180, 75remulcld 9949 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
8281, 45readdcld 9948 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
8382, 75resubcld 10337 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
84 fracge0 12467 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
8577, 84syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑋)
8777rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
8859, 1sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
8988rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑌)
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑈)
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 11869 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑈)
9433, 86, 933jca 1235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))
95 simpr1 1060 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 𝑋𝑆)
96 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))
97 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
98 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑥
99 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
10097, 98, 99nfbr 4629 . . . . . . . . . . 11 𝑥0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵
10196, 100nfim 1813 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
102 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑆𝑋𝑆))
103 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
104 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑈𝑋𝑈))
105102, 103, 1043anbi123d 1391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈) ↔ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)))
106105anbi2d 736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))))
107 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
108107breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
109106, 108imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵)
111101, 109, 110vtoclg1f 3238 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
11295, 111mpcom 37 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11394, 112mpdan 699 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11480, 75, 85, 113mulge0d 10483 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
11545, 81addge02d 10495 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
116114, 115mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
11745, 82, 75, 116lesub1dd 10522 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
118 reflcl 12459 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
11988, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
12088, 119resubcld 10337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
121 csbeq1 3502 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
122121eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
123122rspcv 3278 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
1241, 71, 123sylc 63 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
125120, 124remulcld 9949 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
126125, 21readdcld 9948 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
127126, 124resubcld 10337 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
128 dvfsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
129 dvfsum.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
130 dvfsum.md . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
131 dvfsum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
132 dvfsum.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
133 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 23595 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
135134simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
136 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
137 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ·
138136, 137, 99nfov 6575 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵)
139 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑥 +
140138, 139, 48nfov 6575 . . . . . . . . 9 𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
141 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
142141, 49oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
143142, 107oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
144143, 52oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
14546, 140, 144, 133fvmptf 6209 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
14633, 82, 145syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
147146oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
148 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
149 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
150148, 137, 149nfov 6575 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
151150, 139, 25nfov 6575 . . . . . . . . 9 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153152, 26oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
154 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
155153, 154oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156155, 29oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
15722, 151, 156, 133fvmptf 6209 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1581, 126, 157syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
159158oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
160135, 147, 1593brtr3d 4614 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
16121recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
162124recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
163125recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
164161, 162, 163subsub3d 10301 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) = (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
165161, 163addcomd 10117 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
166165oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
167164, 166eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
168 1red 9934 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
169129, 77, 88, 86, 91letrd 10073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝑌)
1701, 169, 923jca 1235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))
171 simpr1 1060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌𝑆)
172 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))
17397, 98, 149nfbr 4629 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵
174172, 173nfim 1813 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
175 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝑆𝑌𝑆))
176 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝐷𝑥𝐷𝑌))
177 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝑈𝑌𝑈))
178175, 176, 1773anbi123d 1391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈) ↔ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)))
179178anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))))
180154breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
181179, 180imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)))
182174, 181, 110vtoclg1f 3238 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
183171, 182mpcom 37 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
184170, 183mpdan 699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
185 fracle1 12466 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
18688, 185syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
187120, 168, 124, 184, 186lemul1ad 10842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵))
188162mulid2d 9937 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
189187, 188breqtrd 4609 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
190124, 125subge0d 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ↔ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
191189, 190mpbird 246 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
192124, 125resubcld 10337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
19321, 192subge02d 10498 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
194191, 193mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
195167, 194eqbrtrrd 4607 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19683, 127, 21, 160, 195letrd 10073 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19776, 83, 21, 117, 196letrd 10073 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19875, 45readdcld 9948 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
199 fracge0 12467 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
20088, 199syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
201120, 124, 200, 184mulge0d 10483 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
20221, 125addge02d 10495 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
203201, 202mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
204134simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋))
205204, 158, 1463brtr3d 4614 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
20621, 126, 82, 203, 205letrd 10073 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
207 fracle1 12466 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
20877, 207syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
20980, 168, 75, 113, 208lemul1ad 10842 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵))
21075recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
211210mulid2d 9937 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
212209, 211breqtrd 4609 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
21381, 75, 45, 212leadd1dd 10520 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
21421, 82, 198, 206, 213letrd 10073 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
21545recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
216210, 215addcomd 10117 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))
217214, 216breqtrd 4609 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))
21821, 45, 75absdifled 14021 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))))
219197, 217, 218mpbir2and 959 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
22056, 219eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⦋csb 3499   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  abscabs 13822  Σcsu 14264   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  23598  dvfsumrlim2  23599  logexprlim  24750
 Copyright terms: Public domain W3C validator