Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcz 15423
 Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcz (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem pcz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcge0 15404 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
21ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
32ralrimiva 2949 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4 elq 11666 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
5 nnz 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
6 dvds0 14835 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∥ 0)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∥ 0)
87ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦 ∥ 0)
9 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
108, 9breqtrrd 4611 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦𝑥)
1110a1d 25 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
13 simplll 794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℤ)
14 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ 0)
15 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℕ)
16 pcdiv 15395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
1712, 13, 14, 15, 16syl121anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
1817breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦))))
19 pczcl 15391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
2012, 13, 14, 19syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
2120nn0red 11229 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℝ)
2212, 15pccld 15393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
2322nn0red 11229 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23subge0d 10496 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
2518, 24bitrd 267 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
2625ralbidva 2968 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
28 pc2dvds 15421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
295, 27, 28syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
3126, 30bitr4d 270 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑦𝑥))
3231biimpd 218 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
3311, 32pm2.61dane 2869 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
345adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
35 nnne0 10930 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
3635adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ≠ 0)
37 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℤ)
38 dvdsval2 14824 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
3934, 36, 37, 38syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
4033, 39sylibd 228 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
41 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
4241breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
4342ralbidv 2969 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
44 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
4543, 44imbi12d 333 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ)))
4640, 45syl5ibrcom 236 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4746rexlimivv 3018 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
484, 47sylbi 206 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
493, 48impbid2 215 1 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℚcq 11664   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380 This theorem is referenced by:  pcmptdvds  15436  qexpz  15443
 Copyright terms: Public domain W3C validator