Theorem modsumfzodifsn 12605

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 12376	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
2		elfzoelz 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	zred 11358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
4		nn0re 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
6		readdcl 9898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	syl2anr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
8		nnrp 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
9	8	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
11	7, 10	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
12	1, 11	sylanb 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
14		elfzo1 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
15		nnnn0 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	14, 16	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		elfzonn0 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℕ0)
19		nn0addcl 11205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
20	17, 18, 19	syl2anr 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0)
22	21	nn0ge0d 11231	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ (𝐾 + 𝐽))
23		simpl 472	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)
24	22, 23	jca 553	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (0 ≤ (𝐾 + 𝐽) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
25		modid 12557	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐾 + 𝐽) ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
26	13, 24, 25	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 + 𝐽))
27		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	1, 27	sylbi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
31		elfzo0 12376	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
32	21, 30, 23, 31	syl3anbrc 1239	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁))
33	2	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
35		0cnd 9912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
36		elfzoelz 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
37	36	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
39		nnne0 10930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
40	39	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
41	14, 40	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ≠ 0)
43	34, 35, 38, 42	addneintr2d 10123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
44	43	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
45	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 ∈ ℂ)
46		addid2 10098	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℂ → (0 + 𝐽) = 𝐽)
47	46	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ ℂ → 𝐽 = (0 + 𝐽))
48	45, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
49	44, 48	neeqtrrd 2856	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽)
50		eldifsn 4260	. . . 4 ⊢ ((𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝐾 + 𝐽) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐾 + 𝐽) ≠ 𝐽))
51	32, 49, 50	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
52	26, 51	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
53		elfzoel2 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
54	53	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	56	mulm1d 10361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (-1 · 𝑁) = -𝑁)
58	57	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁))
59		zaddcl 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
60	2, 36, 59	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
61	60	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ)
62	61, 55	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
64		negsub 10208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + -𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
66	58, 65	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
67	66	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁))
68	2, 36, 59	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℤ)
69	68	zred 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
70	69	ancoms 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
71	53	zred 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
73	70, 72	resubcld 10337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ)
75	27	nnrpd 11746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
76	1, 75	sylbi 206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
79		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
80	79	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
82	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
84		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
85	84	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
87		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
88	6	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
89	87, 88	lenltd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) ↔ ¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁))
90	89	biimprd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
91	88, 87	subge0d 10496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽)))
92	90, 91	sylibrd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
93	81, 83, 86, 92	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
94	82, 80	anim12ci 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
95	84, 84	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
96	95	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
98		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 < 𝑁)
99		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
100	98, 99	anim12ci 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))
101	94, 97, 100	jca31 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)))
102		lt2add 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
103	102	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
104	101, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
105	80, 82, 6	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
106		ltsubadd 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
107	105, 86, 86, 106	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
108	104, 107	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
109	93, 108	jctird 565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
110	109	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
111	14, 110	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
112	111	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
113	1, 112	sylbi 206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))))
114	113	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
115	114	impcom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
116	74, 78, 115	jca31 555	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)))
117		modid 12557	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
119	67, 118	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
120	119	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁))
121	1, 9	sylbi 206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
122	121	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
123		neg1z 11290	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
124	123	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → -1 ∈ ℤ)
125		modcyc 12567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
126	70, 122, 124, 125	syl2an23an 1379	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝐾 + 𝐽) + (-1 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
127	120, 126	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁))
128	127	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
129	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
130	60, 129	zsubcld 11363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
131	130	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ)
132	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
133	36	zred 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
134	133	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
135	91	biimprd 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐾 + 𝐽) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
136	89, 135	sylbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
137	132, 134, 72, 136	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
138	137	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁))
139		elnn0z 11267	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁)))
140	131, 138, 139	sylanbrc 695	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0)
141	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
142	101	expcom 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
143	14, 142	sylbi 206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
144	143	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
145	144	3adant2 1073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
146	1, 145	sylbi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁))))
147	146	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝐾 < 𝑁 ∧ 𝐽 < 𝑁)))
148	147, 103	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁))
149	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℝ)
150	3, 149, 6	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ)
151	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
153	150, 152, 152	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
154	153	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
155	154	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
156	1, 155	sylbi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
157	156	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
158	157, 106	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁 ↔ (𝐾 + 𝐽) < (𝑁 + 𝑁)))
159	148, 158	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
160	159	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁)
161		elfzo0 12376	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) < 𝑁))
162	140, 141, 160, 161	syl3anbrc 1239	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
163		nncn 10905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
164		nncn 10905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
165		subcl 10159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
166	163, 164, 165	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
167	166	3adant3 1074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
168	14, 167	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
169	168	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
170	169	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
171		0cnd 9912	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ∈ ℂ)
172	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 ∈ ℂ)
173		elfzoel2 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
174	173	zcnd 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
175	80, 99	ltned 10052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ≠ 𝑁)
176	14, 175	sylbi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → 𝐾 ≠ 𝑁)
177	33, 174, 176	subne0d 10280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^𝑁) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
178	177	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
179	178	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
180	170, 171, 172, 179	addneintr2d 10123	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽) ≠ (0 + 𝐽))
181	34, 38, 55	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
182	181	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
183		addsub 10171	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
184	182, 183	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) = ((𝐾 − 𝑁) + 𝐽))
185	172, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → (0 + 𝐽) = 𝐽)
186	185	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → 𝐽 = (0 + 𝐽))
187	180, 184, 186	3netr4d 2859	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽)
188		eldifsn 4260	. . . 4 ⊢ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ≠ 𝐽))
189	162, 187, 188	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) − 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
190	128, 189	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((¬ (𝐾 + 𝐽) < 𝑁 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
191	52, 190	pm2.61ian 827	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐾 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531

This theorem is referenced by:  cshimadifsn  13426