Theorem stoweidlem62 38955

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem62.2	⊢ Ⅎ𝑓𝜑
stoweidlem62.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem62.4	⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
stoweidlem62.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem62.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem62.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem62.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem62.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem62.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem62.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem62.14	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem62.15	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem62.16	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem62.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,𝑞,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐻,𝑔   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝐸,𝑞,𝑟,𝑥   𝐻,𝑞,𝑟,𝑥   𝑇,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡,𝑟,𝑞)   𝐻(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
2		nfmpt1 4675	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
3	1, 2	nfcxfr 2749	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
4		stoweidlem62.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		stoweidlem62.5	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		stoweidlem62.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
7		stoweidlem62.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		stoweidlem62.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
9		stoweidlem62.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
10		stoweidlem62.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔 ∈ 𝐴 ↔ ℎ ∈ 𝐴))
12	11	3anbi3d 1397	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴)))
13		fveq1 6102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑔‘𝑡) = (ℎ‘𝑡))
14	13	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡)))
15	14	mpteq2dv 4673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))))
16	15	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
17	12, 16	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	17, 18	chvarv 2251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20	13	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡)) = ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡)))
21	20	mpteq2dv 4673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))))
22	21	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴))
23	12, 22	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
25	23, 24	chvarv 2251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (ℎ‘𝑡))) ∈ 𝐴)
26		stoweidlem62.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
27		stoweidlem62.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
29	28	nfrn 5289	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ran 𝐹
30		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡ℝ
31		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 <
32	29, 30, 31	nfinf 8271	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡inf(ran 𝐹, ℝ, < )
33		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )}) = (𝑇 × {-inf(ran 𝐹, ℝ, < )})
34		cmptop 21008	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
37	36, 9	syl6eleq 2698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 38922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
39	38	simp2d 1067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 38940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) ∈ 𝐶)
41	1, 40	syl5eqel 2692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐶)
42	38	simp3d 1068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
43	42	r19.21bi 2916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡))
44	5, 7, 9, 36	fcnre 38207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
45	44	fnvinran 38196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
46	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
47	45, 46	subge0d 10496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ↔ inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ≤ (𝐹‘𝑡)))
48	43, 47	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
49		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
50	45, 46	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ)
51	1	fvmpt2 6200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	49, 50, 51	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐻‘𝑡) = ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
53	48, 52	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
54	53	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ (𝐻‘𝑡)))
55	4, 54	ralrimi 2940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐻‘𝑡))
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
57	56	rphalfcld 11760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
58	56	rpred 11748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	rehalfcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
60		3re 10971	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		3ne0 10992	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
62	60, 61	rereccli 10669	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
63	62	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
64		rphalflt 11736	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 / 2) < 𝐸)
65	56, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < 𝐸)
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 10077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) < (1 / 3))
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 38954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
69		nfra1 2925	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))
70	4, 69	nfan 1816	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)))
71		rsp 2913	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))))
72	56	rpcnd 11750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
73		2cnd 10970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
74		2ne0 10990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
76	72, 73, 75	divcan2d 10682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 / 2)) = 𝐸)
77	76	breq2d 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) ↔ (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
78	77	biimpd 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
79	71, 78	sylan9r 688	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
80	70, 79	ralrimi 2940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
81	80	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
82	81	reximdv 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < (2 · (𝐸 / 2)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
83	68, 82	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
84		nfmpt1 4675	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
85		nfcv 2751	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡ℎ
86		nfv 1830	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 ℎ ∈ 𝐴
87		nfra1 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸
88	86, 87	nfan 1816	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
89	4, 88	nfan 1816	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸))
90		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((ℎ‘𝑡) + inf(ran 𝐹, ℝ, < )))
91	44	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
92	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → inf(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
93	18	3adant1r 1311	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
94	26	adantlr 747	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓𝜑
96	10	sseld 3567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ 𝐶))
97	9	eleq2i 2680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
98	96, 97	syl6ib 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
99		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
100		uniretop 22376	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
101	5	unieqi 4381	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
102	100, 101	eqtr4i 2635	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
103	99, 102	cnf 20860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ)
104	98, 103	syl6 34	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
105		feq2 5940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = ∪ 𝐽 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
106	7, 105	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓:𝑇⟶ℝ ↔ 𝑓:∪ 𝐽⟶ℝ))
107	104, 106	sylibrd 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝐴 → 𝑓:𝑇⟶ℝ))
108	95, 107	ralrimi 2940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
109	108	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 𝑓:𝑇⟶ℝ)
110		simprl 790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ℎ ∈ 𝐴)
111	52	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )) = (𝐻‘𝑡))
112	111	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < ))) = ((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡)))
113	112	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
114	113	adantlr 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) = (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))))
115		simplrr 797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
116		rspa 2914	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
117	115, 116	sylancom 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)
118	114, 117	eqbrtrd 4605	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
119	118	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸))
120	89, 119	ralrimi 2940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − ((𝐹‘𝑡) − inf(ran 𝐹, ℝ, < )))) < 𝐸)
121	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120	stoweidlem21 38914	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((ℎ‘𝑡) − (𝐻‘𝑡))) < 𝐸)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)
122	83, 121	rexlimddv 3017	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046  abscabs 13822  topGenctg 15921  Topctop 20517   Cn ccn 20838  Compccmp 20999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937

This theorem is referenced by:  stoweid  38956