Theorem etransclem3 39130

Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem3	⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 11266	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2		0zd 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3		etransclem3.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		etransclem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7		etransclem3.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
8	6, 7	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁))
9	8	elfzelzd 38471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℤ)
10	4, 9	zsubcld 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ)
12	2, 5, 11	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ))
13	9	zred 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ∈ ℝ)
15	5	zred 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
16		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽))
17	14, 15, 16	nltled 10066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃)
18	15, 14	subge0d 10496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ↔ (𝐶‘𝐽) ≤ 𝑃))
19	17, 18	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)))
20		elfzle1 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶‘𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
21	8, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶‘𝐽))
22	3	nnred 10912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22, 13	subge02d 10498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐶‘𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃))
24	21, 23	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)
26	12, 19, 25	jca32 556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)))
27		elfz2 12204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ≤ 𝑃)))
28	26, 27	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃))
29		permnn 12975	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 11357	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
32		etransclem3.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33	7	elfzelzd 38471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
34	32, 33	zsubcld 11363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ)
36		elnn0z 11267	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶‘𝐽))))
37	11, 19, 36	sylanbrc 695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0)
38		zexpcl 12737	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶‘𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
39	35, 37, 38	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))) ∈ ℤ)
40	31, 39	zmulcld 11364	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶‘𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) ∈ ℤ)
41	1, 40	ifclda 4070	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶‘𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶‘𝐽)))) · ((𝐾 − 𝐽)↑(𝑃 − (𝐶‘𝐽))))) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952

This theorem is referenced by:  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem26  39153  etransclem35  39162  etransclem37  39164