Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem etransclem3 38214
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem3.n |- ( ph -> P e. NN )
etransclem3.c |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
etransclem3.j |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem3.4 |- ( ph -> K e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
etransclem3 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
Proof of Theorem etransclem3
StepHypRef Expression
1 0zd 10973 . 2 |- ( ( ph /\ P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ )
2 0zd 10973 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ )
3 etransclem3.n . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
43nnzd 11062 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
54adantr 472 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. ZZ )
6 etransclem3.c . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
7 etransclem3.j . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
86, 7ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) )
98elfzelzd 37624 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ZZ )
104, 9zsubcld 11068 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ )
1110adantr 472 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ )
122, 5, 113jca 1210 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) )
139zred 11063 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` J ) e. RR )
1413adantr 472 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) e. RR )
155zred 11063 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. RR )
16 simpr 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> -. P < ( C ` J ) )
1714, 15, 16nltled 9802 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) <_ P )
1815, 14subge0d 10224 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) <-> ( C ` J ) <_ P ) )
1917, 18mpbird 240 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) )
20 elfzle1 11828 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ ( C ` J ) )
218, 20syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( C ` J ) )
223nnred 10646 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. RR )
2322, 13subge02d 10226 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( C ` J ) <-> ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) )
2421, 23mpbid 215 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P )
2524adantr 472 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P )
2612, 19, 25jca32 544 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) )
27 elfz2 11817 . . . . . 6 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) )
2826, 27sylibr 217 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) )
29 permnn 12549 . . . . 5 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN )
3028, 29syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN )
3130nnzd 11062 . . 3 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ )
32 etransclem3.4 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. ZZ )
337elfzelzd 37624 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
3432, 33zsubcld 11068 . . . . 5 |- ( ph -> ( K - J ) e. ZZ )
3534adantr 472 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( K - J ) e. ZZ )
36 elnn0z 10974 . . . . 5 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 <-> ( ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) ) )
3711, 19, 36sylanbrc 677 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 )
38 zexpcl 12325 . . . 4 |- ( ( ( K - J ) e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ )
3935, 37, 38syl2anc 673 . . 3 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ )
4031, 39zmulcld 11069 . 2 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ )
411, 40ifclda 3904 1 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   e. wcel 1904   ifcif 3872   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526
This theorem is referenced by:  etransclem24  38235  etransclem25  38236  etransclem26  38237  etransclem35  38246  etransclem37  38248
  Copyright terms: Public domain W3C validator