Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem etransclem3 38112
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem3.n |- ( ph -> P e. NN )
etransclem3.c |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
etransclem3.j |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem3.4 |- ( ph -> K e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
etransclem3 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
Proof of Theorem etransclem3
StepHypRef Expression
1 0zd 10956 . 2 |- ( ( ph /\ P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ )
2 0zd 10956 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ )
3 etransclem3.n . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. NN )
43nnzd 11046 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ZZ )
54adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. ZZ )
6 etransclem3.c . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
7 etransclem3.j . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
86, 7ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) )
98elfzelzd 37546 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ZZ )
104, 9zsubcld 11052 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ )
1110adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ )
122, 5, 113jca 1189 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) )
139zred 11047 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` J ) e. RR )
1413adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) e. RR )
155zred 11047 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. RR )
16 simpr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> -. P < ( C ` J ) )
1714, 15, 16nltled 9790 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) <_ P )
1815, 14subge0d 10210 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) <-> ( C ` J ) <_ P ) )
1917, 18mpbird 236 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) )
20 elfzle1 11809 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ ( C ` J ) )
218, 20syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( C ` J ) )
223nnred 10631 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. RR )
2322, 13subge02d 10212 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( C ` J ) <-> ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) )
2421, 23mpbid 214 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P )
2524adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P )
2612, 19, 25jca32 538 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) )
27 elfz2 11798 . . . . . 6 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) )
2826, 27sylibr 216 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) )
29 permnn 12518 . . . . 5 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN )
3028, 29syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN )
3130nnzd 11046 . . 3 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ )
32 etransclem3.4 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. ZZ )
337elfzelzd 37546 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
3432, 33zsubcld 11052 . . . . 5 |- ( ph -> ( K - J ) e. ZZ )
3534adantr 467 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( K - J ) e. ZZ )
36 elnn0z 10957 . . . . 5 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 <-> ( ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) ) )
3711, 19, 36sylanbrc 671 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 )
38 zexpcl 12294 . . . 4 |- ( ( ( K - J ) e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ )
3935, 37, 38syl2anc 667 . . 3 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ )
4031, 39zmulcld 11053 . 2 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ )
411, 40ifclda 3915 1 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   e. wcel 1889   ifcif 3883   class class class wbr 4405   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ...cfz 11791   ^cexp 12279   !cfa 12466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495
This theorem is referenced by:  etransclem24  38133  etransclem25  38134  etransclem26  38135  etransclem35  38144  etransclem37  38146
  Copyright terms: Public domain W3C validator