Theorem elfzle1 12215

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12209	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 11576	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≤ cle 9954  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12223  fzdisj  12239  elfznn  12241  fznatpl1  12265  fznn0sub2  12315  fz0fzdiffz0  12317  difelfznle  12322  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  bcval4  12956  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  fsum0diaglem  14350  mertenslem1  14455  fprodntriv  14511  fallfacval4  14613  divalglem6  14959  hashdvds  15318  prmdiveq  15329  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  dvfsumlem3  23595  birthdaylem3  24480  ppiltx  24703  ppiub  24729  lgsdilem2  24858  lgsquadlem1  24905  chtppilimlem1  24962  dchrvmasumiflem1  24990  pntrlog2bndlem5  25070  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemh  25088  pntlemj  25092  ostth2lem2  25123  axlowdimlem16  25637  fzto1st1  29183  smattr  29193  smatbl  29194  smatbr  29195  ballotlem2  29877  ballotlemsdom  29900  ballotlemsima  29904  ballotlemfrcn0  29918  ballotlem1ri  29923  subfacp1lem1  30415  subfacp1lem5  30420  inffz  30867  inffzOLD  30868  poimirlem2  32581  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem8  32587  poimirlem11  32590  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem22  32601  poimirlem24  32603  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem2  32617  fdc  32711  irrapxlem3  36406  acongrep  36565  fzmaxdif  36566  acongeq  36568  jm2.23  36581  jm2.26lem3  36586  jm2.27dlem2  36595  monoords  38452  fmul01lt1lem1  38651  fmul01lt1lem2  38652  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem3  38896  stoweidlem11  38904  stoweidlem20  38913  stoweidlem26  38919  stoweidlem34  38927  wallispi2  38966  dirkeritg  38995  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem41  39041  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem52  39051  fourierdlem54  39053  fourierdlem79  39078  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  elaa2lem  39126  etransclem3  39130  etransclem4  39131  etransclem7  39134  etransclem10  39137  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem31  39158  etransclem32  39159  etransclem35  39162  etransclem41  39168  etransclem46  39173  caratheodorylem1  39416  iccpartgt  39965