Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climle 14218
 Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climle.5 (𝜑𝐺𝐵)
climle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climle.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climle (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climle.5 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
4 fvex 6113 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
65mptex 6390 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V)
8 climadd.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
9 climle.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
109recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
11 climle.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1211recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺𝑗) = (𝐺𝑘))
14 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
1513, 14oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
16 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))
17 ovex 6577 . . . . . 6 ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1918adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
201, 2, 3, 7, 8, 10, 12, 19climsub 14212 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ⇝ (𝐵𝐴))
219, 11resubcld 10337 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2219, 21eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
23 climle.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
249, 11subge0d 10496 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
2523, 24mpbird 246 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
2625, 19breqtrrd 4611 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘))
271, 2, 20, 22, 26climge0 14163 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
281, 2, 3, 9climrecl 14162 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
291, 2, 8, 11climrecl 14162 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3028, 29subge0d 10496 . 2 (𝜑 → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
3127, 30mpbid 221 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068 This theorem is referenced by:  climlec2  14237  iserle  14238  iseraltlem1  14260  iserabs  14388  cvgcmpub  14390  itg2monolem1  23323  ulmdvlem1  23958  dchrisumlema  24977  dchrisumlem3  24980  stirlinglem10  38976
 Copyright terms: Public domain W3C validator