MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Structured version   Unicode version

Theorem subge0d 10182
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
subge0d  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 subge0 10106 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522    <_ cle 9659    - cmin 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844
This theorem is referenced by:  ofsubge0  10575  uzsubsubfz  11761  modsubdir  12096  serle  12206  discr  12347  bcval5  12440  fzomaxdiflem  13324  sqreulem  13341  amgm2  13351  climle  13611  rlimle  13619  iseralt  13656  fsumle  13764  cvgcmp  13781  binomrisefac  13987  smuval2  14341  pcz  14613  4sqlem15  14686  mndodconglem  16889  ipcau2  21969  pjthlem1  22144  ovolicc2lem4  22223  vitalilem2  22310  itg1lea  22411  dvlip  22686  dvge0  22699  dvle  22700  dvivthlem1  22701  dvfsumlem2  22720  dvfsumlem4  22722  loglesqrt  23428  emcllem6  23656  harmoniclbnd  23664  basellem9  23743  lgseisenlem1  24005  vmadivsum  24048  rplogsumlem1  24050  dchrisumlem2  24056  rplogsum  24093  vmalogdivsum2  24104  selberg2lem  24116  logdivbnd  24122  pntpbnd2  24153  pntibndlem2  24157  pntlemg  24164  pntlemn  24166  ttgcontlem1  24605  brbtwn2  24625  axpaschlem  24660  axcontlem8  24691  clwlkisclwwlklem2a1  25196  clwlkisclwwlklem2fv2  25200  pjhthlem1  26723  leop2  27456  pjssposi  27504  2sqmod  28088  areacirclem2  31479  areacirclem4  31481  areacirclem5  31482  areacirc  31483  acongrep  35279  lptre2pt  37014  dvnmul  37108  dvnprodlem1  37111  dvnprodlem2  37112  stoweidlem1  37151  stoweidlem26  37176  stoweidlem62  37212  wallispilem4  37218  fourierdlem26  37283  fourierdlem42  37299  fourierdlem65  37322  fourierdlem75  37332  elaa2lem  37384  etransclem3  37388  etransclem7  37392  etransclem10  37395  etransclem20  37405  etransclem21  37406  etransclem22  37407  etransclem24  37409  etransclem27  37412  nnpw2pmod  38714
  Copyright terms: Public domain W3C validator