MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0d Structured version   Unicode version

Theorem subge0d 10033
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
subge0d  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 subge0 9956 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386    <_ cle 9523    - cmin 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702
This theorem is referenced by:  ofsubge0  10425  uzsubsubfz  11581  modsubdir  11877  serle  11971  discr  12111  bcval5  12204  fzomaxdiflem  12941  sqreulem  12958  amgm2  12968  climle  13228  rlimle  13236  iseralt  13273  fsumle  13373  cvgcmp  13390  smuval2  13789  pcz  14058  4sqlem15  14131  mndodconglem  16157  ipcau2  20874  pjthlem1  21049  ovolicc2lem4  21128  vitalilem2  21215  itg1lea  21316  dvlip  21591  dvge0  21604  dvle  21605  dvivthlem1  21606  dvfsumlem2  21625  dvfsumlem4  21627  loglesqr  22322  emcllem6  22520  harmoniclbnd  22528  basellem9  22552  lgseisenlem1  22814  vmadivsum  22857  rplogsumlem1  22859  dchrisumlem2  22865  rplogsum  22902  vmalogdivsum2  22913  selberg2lem  22925  logdivbnd  22931  pntpbnd2  22962  pntibndlem2  22966  pntlemg  22973  pntlemn  22975  ttgcontlem1  23276  brbtwn2  23296  axpaschlem  23331  axcontlem8  23362  pjhthlem1  24939  leop2  25673  pjssposi  25721  binomrisefac  27682  areacirclem2  28626  areacirclem4  28628  areacirclem5  28629  areacirc  28630  acongrep  29464  stoweidlem1  29937  stoweidlem26  29962  stoweidlem62  29998  wallispilem4  30004  clwlkisclwwlklem2a1  30582  clwlkisclwwlklem2fv2  30586
  Copyright terms: Public domain W3C validator