Theorem amgm2 13957

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
amgm2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10968	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		simpll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simprl 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 9900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		mulge0 10425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7		resqrtcl 13842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
10		sqmul 12788	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
11	1, 9, 10	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
12		sq2 12822	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
13	12	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2))
14	5	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
15		sqrtth 13952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
17	16	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
18	13, 17	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
19	11, 18	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
20	2, 3	resubcld 10337	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	sqge0d 12898	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵)↑2))
22	2	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	3	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		binom2 12841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
25	22, 23, 24	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
26		binom2sub 12843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
27	22, 23, 26	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
28	25, 27	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
29	2	resqcld 12897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
30		2re 10967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
31		remulcl 9900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
32	30, 5, 31	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
33	29, 32	readdcld 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
34	33	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
35	29, 32	resubcld 10337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
36	35	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
37	3	resqcld 12897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
38	37	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
39	34, 36, 38	pnpcan2d 10309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))))
40	32	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
41	40	2timesd 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
42		2t2e4 11054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
43	42	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
44		2cnd 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
45	44, 44, 14	mulassd 9942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
46	43, 45	syl5eqr 2658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
47	29	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
48	47, 40, 40	pnncand 10310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
49	41, 46, 48	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
50	28, 39, 49	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
51	2, 3	readdcld 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
52	51	resqcld 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
53	52	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
54	20	resqcld 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
55	54	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
56		4re 10974	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
57		remulcl 9900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
58	56, 5, 57	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
59	58	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
60		subsub23 10165	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
61	53, 55, 59, 60	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
62	50, 61	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
63	21, 62	breqtrrd 4611	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))))
64	52, 58	subge0d 10496	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) ↔ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
65	63, 64	mpbid 221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
66	19, 65	eqbrtrd 4605	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
67		remulcl 9900	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
68	30, 8, 67	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
69		sqrtge0 13846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
70	5, 6, 69	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
71		0le2 10988	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
72		mulge0 10425	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
73	30, 71, 72	mpanl12 714	. . . . 5 ⊢ (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
74	8, 70, 73	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
75		addge0 10396	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
76	75	an4s 865	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
77	68, 51, 74, 76	le2sqd 12906	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
78	66, 77	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵))
79		2pos 10989	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
80	30, 79	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
81	80	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
82		lemuldiv2 10783	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
83	8, 51, 81, 82	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
84	78, 83	mpbid 221	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  4c4 10949  ↑cexp 12722  √csqrt 13821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

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