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Theorem amgm2 12978
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for  n  =  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
amgm2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  <_  (
( A  +  B
)  /  2 ) )

Proof of Theorem amgm2
StepHypRef Expression
1 2cn 10506 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
2 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  RR )
3 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
4 remulcl 9481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
6 mulge0 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
7 resqrcl 12864 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  -> 
( sqr `  ( A  x.  B )
)  e.  RR )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  e.  RR )
98recnd 9526 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  e.  CC )
10 sqmul 12049 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A  x.  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) ) )
111, 9, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
12 sq2 12082 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
1312oveq1i 6213 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ^ 2 ) )
145recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  CC )
15 sqrth 12973 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  B )  e.  CC  ->  (
( sqr `  ( A  x.  B )
) ^ 2 )  =  ( A  x.  B ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ^
2 )  =  ( A  x.  B ) )
1716oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) )
1813, 17syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2 ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) )
1911, 18eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) ^
2 )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) )
202, 3resubcld 9890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
2120sqge0d 12155 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( ( A  -  B
) ^ 2 ) )
222recnd 9526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  CC )
233recnd 9526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  CC )
24 binom2 12101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) ) )
26 binom2sub 12103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
2722, 23, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) ) )
2825, 27oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
292resqcld 12154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
30 2re 10505 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
31 remulcl 9481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  e.  RR )
3230, 5, 31sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  e.  RR )
3329, 32readdcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  RR )
3433recnd 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  CC )
3529, 32resubcld 9890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  RR )
3635recnd 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  e.  CC )
373resqcld 12154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
3837recnd 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
3934, 36, 38pnpcan2d 9871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) ) ) )
4032recnd 9526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  e.  CC )
41402timesd 10681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
42 2t2e4 10585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4342oveq1i 6213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( A  x.  B ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
)
44 2cnd 10508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  2  e.  CC )
4544, 44, 14mulassd 9523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  2 )  x.  ( A  x.  B ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
4643, 45syl5eqr 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
4729recnd 9526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4847, 40, 40pnncand 9872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
4941, 46, 483eqtr4rd 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )
5028, 39, 493eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )
512, 3readdcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
5251resqcld 12154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  RR )
5352recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
5420resqcld 12154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  e.  RR )
5554recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  e.  CC )
56 4re 10512 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
57 remulcl 9481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  ( A  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B
) )  e.  RR )
5856, 5, 57sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  e.  RR )
5958recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  e.  CC )
60 subsub23 9729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( A  -  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B )
)  <->  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )  =  ( ( A  -  B
) ^ 2 ) ) )
6153, 55, 59, 60syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( ( A  -  B ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  B
) )  <->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B
) ) )  =  ( ( A  -  B ) ^ 2 ) ) )
6250, 61mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  +  B
) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B
) ) )  =  ( ( A  -  B ) ^ 2 ) )
6321, 62breqtrrd 4429 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B ) ) ) )
6452, 58subge0d 10043 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 0  <_  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  B )
) )  <->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  <_ 
( ( A  +  B ) ^ 2 ) ) )
6563, 64mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 4  x.  ( A  x.  B ) )  <_ 
( ( A  +  B ) ^ 2 ) )
6619, 65eqbrtrd 4423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) ^
2 )  <_  (
( A  +  B
) ^ 2 ) )
67 remulcl 9481 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( A  x.  B ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B ) ) )  e.  RR )
6830, 8, 67sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) )  e.  RR )
69 sqrge0 12868 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )
705, 6, 69syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B ) ) )
71 0le2 10526 . . . . . 6  |-  0  <_  2
72 mulge0 9971 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( sqr `  ( A  x.  B
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) )  ->  0  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) )
7330, 71, 72mpanl12 682 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( A  x.  B )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  ( A  x.  B )
) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B ) ) ) )
748, 70, 73syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) ) )
75 addge0 9942 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  +  B
) )
7675an4s 822 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7768, 51, 74, 76le2sqd 12163 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) ) ^ 2 )  <_  ( ( A  +  B ) ^ 2 ) ) )
7866, 77mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B )
) )  <_  ( A  +  B )
)
79 2pos 10527 . . . . 5  |-  0  <  2
8030, 79pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8180a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
82 lemuldiv2 10326 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( A  x.  B )
)  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( sqr `  ( A  x.  B )
)  <_  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
838, 51, 81, 82syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  ( A  x.  B
) ) )  <_ 
( A  +  B
)  <->  ( sqr `  ( A  x.  B )
)  <_  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
8478, 83mpbid 210 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( sqr `  ( A  x.  B
) )  <_  (
( A  +  B
)  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396    + caddc 9399    x. cmul 9401    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709    / cdiv 10107   2c2 10485   4c4 10487   ^cexp 11985   sqrcsqr 12843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846
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