MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomrisefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomrisefac 14612
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 10217 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
213adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
32oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁))
4 negcl 10160 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
5 negcl 10160 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
7 binomfallfac 14611 . . . . . 6 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
84, 5, 6, 7syl3an 1360 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝐴 + -𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
93, 8eqtrd 2644 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
109oveq2d 6565 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
11 fzfid 12634 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) ∈ Fin)
12 neg1cn 11001 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
13 expcl 12740 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 702 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
15143ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
16 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 elfzelz 12213 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
18 bccl 12971 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1916, 17, 18syl2an 493 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 11230 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
21 simpl1 1057 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2221negcld 10258 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
2316nn0zd 11356 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 zsubcl 11296 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
2523, 17, 24syl2an 493 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
26 elfzle2 12216 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
2726adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘𝑁)
28 simpl3 1059 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2928nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3231nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3329, 32subge0d 10496 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝑘) ↔ 𝑘𝑁))
3427, 33mpbird 246 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝑘))
35 elnn0z 11267 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑘) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑘)))
3625, 34, 35sylanbrc 695 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
37 fallfaccl 14586 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
3822, 36, 37syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
39 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4039negcld 10258 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐵 ∈ ℂ)
41 fallfaccl 14586 . . . . . . 7 ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
4240, 30, 41syl2an 493 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
4338, 42mulcld 9939 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
4420, 43mulcld 9939 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
4511, 15, 44fsummulc2 14358 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
4610, 45eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
47 addcl 9897 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
48 risefallfac 14594 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)))
4947, 48stoic3 1692 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-(𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁)))
50 risefallfac 14594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))))
5121, 36, 50syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))))
52 simpl2 1058 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
53 risefallfac 14594 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 RiseFac 𝑘) = ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))
5452, 31, 53syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 RiseFac 𝑘) = ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))
5551, 54oveq12d 6567 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘)) = (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))) · ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
56 expcl 12740 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
5712, 36, 56sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
58 expcl 12740 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
5912, 30, 58sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6059adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6157, 38, 60, 42mul4d 10127 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-𝐴 FallFac (𝑁𝑘))) · ((-1↑𝑘) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) = (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
6212a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
6362, 31, 36expaddd 12872 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑((𝑁𝑘) + 𝑘)) = ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)))
6416nn0cnd 11230 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
6530nn0cnd 11230 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
66 npcan 10169 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) + 𝑘) = 𝑁)
6764, 65, 66syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑘) + 𝑘) = 𝑁)
6867oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑((𝑁𝑘) + 𝑘)) = (-1↑𝑁))
6963, 68eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) = (-1↑𝑁))
7069oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((-1↑(𝑁𝑘)) · (-1↑𝑘)) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))) = ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
7155, 61, 703eqtrd 2648 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘)) = ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘))))
7271oveq2d 6565 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7315adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
7420, 73, 43mul12d 10124 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((-1↑𝑁) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))) = ((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7572, 74eqtrd 2644 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = ((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7675sumeq2dv 14281 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑁) · ((𝑁C𝑘) · ((-𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (-𝐵 FallFac 𝑘)))))
7746, 49, 763eqtr4d 2654 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) RiseFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 RiseFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 RiseFac 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146  0cn0 11169  cz 11254  ...cfz 12197  cexp 12722  Ccbc 12951  Σcsu 14264   FallFac cfallfac 14574   RiseFac crisefac 14575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-prod 14475  df-risefac 14576  df-fallfac 14577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator