Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areacirclem1 32670
 Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem1 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
Distinct variable group:   𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem1
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9907 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 elioore 12076 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
43recnd 9947 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℂ)
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
6 rpcn 11717 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8 rpne0 11724 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
105, 7, 9divcld 10680 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
11 asincl 24400 . . . . 5 ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
13 1cnd 9935 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
1410sqcld 12868 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
1513, 14subcld 10271 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
1615sqrtcld 14024 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
1710, 16mulcld 9939 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
1812, 17addcld 9938 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
19 ovex 6577 . . . 4 ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) ∈ V
2019a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) ∈ V)
21 rpre 11715 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
2221renegcld 10336 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ)
2322rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ*)
24 rpxr 11716 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
25 elioo2 12087 . . . . . . . 8 ((-𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
2623, 24, 25syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
27 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
2821adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
298adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
3027, 28, 29redivcld 10732 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
3130a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ))
326mulm1d 10361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
3433breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -𝑅 < 𝑡))
35 neg1rr 11002 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
37 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ+)
3836, 27, 37ltmuldivd 11795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
3934, 38bitr3d 269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅 < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
4039biimpd 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅 < 𝑡 → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
4140adantrd 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
42 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
4327, 42, 37ltdivmuld 11799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅) < 1 ↔ 𝑡 < (𝑅 · 1)))
446mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 · 1) = 𝑅)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
4645breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑅 · 1) ↔ 𝑡 < 𝑅))
4743, 46bitr2d 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 ↔ (𝑡 / 𝑅) < 1))
4847biimpd 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 → (𝑡 / 𝑅) < 1))
4948adantld 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) < 1))
5031, 41, 493jcad 1236 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
5150exp4b 630 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))))
52513impd 1273 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
5326, 52sylbid 229 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
5453imp 444 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
5535rexri 9976 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ*
56 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
5756rexri 9976 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
58 elioo2 12087 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ (-1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
5955, 57, 58mp2an 704 . . . . 5 ((𝑡 / 𝑅) ∈ (-1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
6054, 59sylibr 223 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ (-1(,)1))
61 ovex 6577 . . . . 5 (1 / 𝑅) ∈ V
6261a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ V)
63 elioore 12076 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 𝑢 ∈ ℝ)
6463recnd 9947 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 𝑢 ∈ ℂ)
65 asincl 24400 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
66 id 22 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℂ → 𝑢 ∈ ℂ)
67 1cnd 9935 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
68 sqcl 12787 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
6967, 68subcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℂ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
7069sqrtcld 14024 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
7166, 70mulcld 9939 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
7265, 71addcld 9938 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℂ → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
7364, 72syl 17 . . . . 5 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
7473adantl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
75 ovex 6577 . . . . 5 (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V
7675a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
77 recn 9905 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
79 1cnd 9935 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
802dvmptid 23526 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
81 ioossre 12106 . . . . . . 7 (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
8281a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
83 eqid 2610 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8483tgioo2 22414 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
85 iooretop 22379 . . . . . . 7 (-𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,))
8685a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
872, 78, 79, 80, 82, 84, 83, 86dvmptres 23532 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 1))
882, 5, 13, 87, 6, 8dvmptdivc 23534 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (1 / 𝑅)))
8964, 65syl 17 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
9089adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
91 ovex 6577 . . . . . . 7 (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
93 dvreasin 32668 . . . . . . 7 (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
94 asinf 24399 . . . . . . . . . 10 arcsin:ℂ⟶ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
96 ioossre 12106 . . . . . . . . . . 11 (-1(,)1) ⊆ ℝ
97 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
9896, 97sstri 3577 . . . . . . . . . 10 (-1(,)1) ⊆ ℂ
9998a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-1(,)1) ⊆ ℂ)
10095, 99feqresmpt 6160 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (arcsin ↾ (-1(,)1)) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢)))
101100oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))))
10293, 101syl5reqr 2659 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
10364, 71syl 17 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
104103adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
105 ovex 6577 . . . . . . 7 ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) ∈ V
106105a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) ∈ V)
10764adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → 𝑢 ∈ ℂ)
108 1cnd 9935 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
109 recn 9905 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℂ)
110109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℂ)
111 1cnd 9935 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
1122dvmptid 23526 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1))
11396a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-1(,)1) ⊆ ℝ)
114 iooretop 22379 . . . . . . . . 9 (-1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
115114a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)))
1162, 110, 111, 112, 113, 84, 83, 115dvmptres 23532 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ 1))
11764, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
118117adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
119 ovex 6577 . . . . . . . 8 (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V
120119a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
121 1red 9934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 1 ∈ ℝ)
12263resqcld 12897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
123121, 122resubcld 10337 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ)
124 elioo2 12087 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢𝑢 < 1)))
12555, 57, 124mp2an 704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢𝑢 < 1))
126 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℝ)
127 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
128126, 127absltd 14016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ (-1 < 𝑢𝑢 < 1)))
129109abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ℝ → (abs‘𝑢) ∈ ℝ)
130109absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑢))
131 0le1 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 1
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ 1)
133129, 127, 130, 132lt2sqd 12905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ ((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2)))
134 absresq 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢)↑2) = (𝑢↑2))
135 sq1 12820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1↑2) = 1
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ℝ → (1↑2) = 1)
137134, 136breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ℝ → (((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2) ↔ (𝑢↑2) < 1))
138 resqcl 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
139138, 127posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
140133, 137, 1393bitrd 293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
141128, 140bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑢𝑢 < 1) ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
142141biimpd 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑢𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2))))
1431423impib 1254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
144125, 143sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
145123, 144elrpd 11745 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ+)
146145adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ+)
147 negex 10158 . . . . . . . . . 10 -(2 · 𝑢) ∈ V
148147a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (-1(,)1)) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
149 rpcn 11717 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ)
150149sqrtcld 14024 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+ → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
151150adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
152 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (1 / (2 · (√‘𝑣))) ∈ V
153152a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) ∈ V)
154 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
155109sqcld 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
156154, 155subcld 10271 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ℝ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
157156adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
158147a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
159 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
160 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
1612, 160dvmptc 23527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 0))
162155adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
163 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 𝑢) ∈ V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
16583cnfldtopon 22396 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
166 toponmax 20543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
167165, 166mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
168 df-ss 3554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
16997, 168mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
17168adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
172163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
173 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
174 dvexp 23522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))))
175173, 174ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1))))
176 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
177176oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢↑(2 − 1)) = (𝑢↑1)
178 exp1 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑1) = 𝑢)
179177, 178syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑(2 − 1)) = 𝑢)
180179oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ ℂ → (2 · (𝑢↑(2 − 1))) = (2 · 𝑢))
181180mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
182175, 181eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢)))
18483, 2, 167, 170, 171, 172, 183dvmptres3 23525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (2 · 𝑢)))
1852, 111, 159, 161, 162, 164, 184dvmptsub 23536 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢))))
186 df-neg 10148 . . . . . . . . . . . 12 -(2 · 𝑢) = (0 − (2 · 𝑢))
187186mpteq2i 4669 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢)))
188185, 187syl6eqr 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)))
1892, 157, 158, 188, 113, 84, 83, 115dvmptres 23532 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ -(2 · 𝑢)))
190 dvsqrt 24283 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣))))
191190a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣)))))
192 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (√‘𝑣) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
193192oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (2 · (√‘𝑣)) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
194193oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) = (1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
1952, 2, 146, 148, 151, 153, 189, 191, 192, 194dvmptco 23541 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))))
196 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 2 ∈ ℂ)
197196, 64mulneg2d 10363 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · -𝑢) = -(2 · 𝑢))
198197oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (-(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
19964negcld 10258 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -𝑢 ∈ ℂ)
200144gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ≠ 0)
20164, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
202201adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (-1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
203 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (-1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0)
204202, 203sqr00d 14028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (-1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) = 0)
205204ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0 → (1 − (𝑢↑2)) = 0))
206205necon3d 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 − (𝑢↑2)) ≠ 0 → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0))
207200, 206mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0)
208 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
209208a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 2 ≠ 0)
210199, 117, 196, 207, 209divcan5d 10706 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
211196, 64mulcld 9939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
212211negcld 10258 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -(2 · 𝑢) ∈ ℂ)
213196, 117mulcld 9939 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
214196, 117, 209, 207mulne0d 10558 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ≠ 0)
215212, 213, 214divrec2d 10684 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (-(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)))
216198, 210, 2153eqtr3rd 2653 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)) = (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
217216mpteq2ia 4668 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
218195, 217syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
2192, 107, 108, 116, 118, 120, 218dvmptmul 23530 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))))
2202, 90, 92, 102, 104, 106, 219dvmptadd 23529 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))))
221117mulid2d 9937 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
222199, 117, 207divcld 10680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
223222, 64mulcomd 9940 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = (𝑢 · (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
22464, 199, 117, 207divassd 10715 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 · (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
22564, 64mulneg2d 10363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢 · 𝑢))
22664sqvald 12867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢↑2) = (𝑢 · 𝑢))
227226negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -(𝑢↑2) = -(𝑢 · 𝑢))
228225, 227eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢↑2))
229228oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
230223, 224, 2293eqtr2d 2650 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
231221, 230oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
23264sqcld 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
233232negcld 10258 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -(𝑢↑2) ∈ ℂ)
234233, 117, 207divcld 10680 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
235117, 234addcomd 10117 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
236231, 235eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
237236oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
2381172timesd 11152 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
23967, 68negsubd 10277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = (1 − (𝑢↑2)))
24069sqsqrtd 14026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = (1 − (𝑢↑2)))
24170sqvald 12867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
242239, 240, 2413eqtr2d 2650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
24364, 242syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
244243oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
245 1cnd 9935 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 1 ∈ ℂ)
246245, 233, 117, 207divdird 10718 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
247117, 117, 207divcan3d 10685 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
248244, 246, 2473eqtr3rd 2653 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
249248oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
250117, 207reccld 10673 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
251250, 234, 117addassd 9941 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
252238, 249, 2513eqtrrd 2649 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
253237, 252eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
254253mpteq2ia 4668 . . . . 5 (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
255220, 254syl6eq 2660 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
256 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (arcsin‘𝑢) = (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)))
257 id 22 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → 𝑢 = (𝑡 / 𝑅))
258 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢↑2) = ((𝑡 / 𝑅)↑2))
259258oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (1 − (𝑢↑2)) = (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
260259fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
261257, 260oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
262256, 261oveq12d 6567 . . . 4 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
263260oveq2d 6565 . . . 4 (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
2642, 2, 60, 62, 74, 76, 88, 255, 262, 263dvmptco 23541 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))))
2656sqcld 12868 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
2662, 18, 20, 264, 265dvmptcmul 23533 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))))
267 2cnd 10970 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
268267, 16mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
2696, 8reccld 10673 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
270269adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
271268, 270mulcomd 9940 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
272271oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
273265adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
274273, 270, 268mulassd 9942 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
2756sqvald 12867 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅))
276275oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅))
277265, 6, 8divrecd 10683 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)))
2786, 6, 8divcan3d 10685 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅) = 𝑅)
279276, 277, 2783eqtr3d 2652 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
280279adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
281280oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
2827, 267, 16mul12d 10124 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
28321resqcld 12897 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
284283adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
28521sqge0d 12898 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑅↑2))
286285adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
287 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
2883adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
28921adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
290288, 289, 9redivcld 10732 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
291290resqcld 12897 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
292287, 291resubcld 10337 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
293 0red 9920 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
29427, 28absltd 14016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅)))
29577abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
296295adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
29777absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
298297adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
299 rpge0 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
300299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
301296, 28, 298, 300lt2sqd 12905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
302 absresq 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
303302adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
304265adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
305304mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
306305eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) = ((𝑅↑2) · 1))
307303, 306breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
3086adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
30978, 308, 29sqdivd 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
310309breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1))
31130resqcld 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
312311, 42posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
313 resqcl 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
314313adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
315 rpgt0 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
316 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
317 0le0 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ≤ 0
318317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 0)
319316, 21, 318, 299lt2sqd 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
320 sq0 12817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0↑2) = 0
321320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0↑2) = 0)
322321breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
323319, 322bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
324315, 323mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < (𝑅↑2))
325283, 324elrpd 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ+)
326325adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ+)
327314, 42, 326ltdivmuld 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1 ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
328310, 312, 3273bitr3rd 298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
329301, 307, 3283bitrd 293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
330294, 329bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
331330biimpd 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
332331exp4b 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
3333323impd 1273 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
33426, 333sylbid 229 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
335334imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
336293, 292, 335ltled 10064 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
337284, 286, 292, 336sqrtmuld 14011 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
338273, 13, 14subdid 10365 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
339273mulid1d 9936 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
3405, 7, 9sqdivd 12883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
341340oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
3424sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
343342adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
344 sqne0 12792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
3456, 344syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
3468, 345mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ≠ 0)
347346adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
348343, 273, 347divcan2d 10682 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
349341, 348eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
350339, 349oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
351338, 350eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
352351fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
35321, 299sqrtsqd 14006 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
354353adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
355354oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
356337, 352, 3553eqtr3rd 2653 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
357356oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
358281, 282, 3573eqtrd 2648 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
359272, 274, 3583eqtr2d 2650 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
360359mpteq2dva 4672 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
361266, 360eqtrd 2644 1 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  abscabs 13822  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  TopOnctopon 20518   D cdv 23433  arcsincasin 24389 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-asin 24392 This theorem is referenced by:  areacirc  32675
 Copyright terms: Public domain W3C validator