MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrec2d 10684
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divrec2d (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divrec2 10581 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1318 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12765  rediv  13719  imdiv  13726  geo2sum  14443  clim2div  14460  efaddlem  14662  sinhval  14723  cvsmuleqdivd  22742  sca2rab  23087  itg2mulclem  23319  itg2mulc  23320  dvmptdivc  23534  dvexp3  23545  dvlip  23560  dvradcnv  23979  tanregt0  24089  logtayl  24206  cxpeq  24298  chordthmlem2  24360  chordthmlem4  24362  heron  24365  dquartlem1  24378  asinlem3  24398  asinsin  24419  efiatan2  24444  atantayl2  24465  amgmlem  24516  basellem8  24614  chebbnd1lem3  24960  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem3  24988  dchrisum0lem1  25005  selberg2lem  25039  logdivbnd  25045  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem5  25070  pntibndlem2  25080  pntlemr  25091  pntlemo  25096  nmblolbii  27038  blocnilem  27043  nmbdoplbi  28267  nmcoplbi  28271  nmbdfnlbi  28292  nmcfnlbi  28295  knoppndvlem7  31679  dvtan  32630  dvasin  32666  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  areaquad  36821  wallispi2lem1  38964  stirlinglem4  38970  stirlinglem5  38971  stirlinglem15  38981  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem2  38997  fourierdlem30  39030  fourierdlem57  39056  fourierdlem58  39057  fourierdlem62  39061  fourierdlem95  39094  nn0digval  42192
  Copyright terms: Public domain W3C validator