MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec2d Structured version   Unicode version

Theorem divrec2d 10217
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divrec2d  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( ( 1  /  B )  x.  A ) )

Proof of Theorem divrec2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divrec2 10117 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( ( 1  /  B )  x.  A
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  =  ( ( 1  /  B )  x.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645  (class class class)co 6195   CCcc 9386   0cc0 9388   1c1 9389    x. cmul 9393    / cdiv 10099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12019  rediv  12733  imdiv  12740  geo2sum  13446  efaddlem  13491  sinhval  13551  sca2rab  21122  itg2mulclem  21352  itg2mulc  21353  dvmptdivc  21567  dvexp3  21578  dvlip  21593  dvradcnv  22014  tanregt0  22123  logtayl  22233  cxpeq  22323  chordthmlem2  22356  chordthmlem4  22358  heron  22361  dquartlem1  22374  asinlem3  22394  asinsin  22415  efiatan2  22440  atantayl2  22461  amgmlem  22511  basellem8  22553  chebbnd1lem3  22848  dchrmusum2  22871  dchrvmasumlem3  22876  dchrisum0lem1  22893  selberg2lem  22927  logdivbnd  22933  pntrsumo1  22942  pntrlog2bndlem5  22958  pntibndlem2  22968  pntlemr  22979  pntlemo  22984  nmblolbii  24346  blocnilem  24351  nmbdoplbi  25575  nmcoplbi  25579  nmbdfnlbi  25600  nmcfnlbi  25603  clim2div  27543  dvtan  28585  dvasin  28623  areacirclem1  28627  areacirclem4  28630  areaquad  29735  wallispi2lem1  30009  stirlinglem4  30015  stirlinglem5  30016  stirlinglem15  30026
  Copyright terms: Public domain W3C validator