MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqcld 12868
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqcl 12787 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  2c2 10947  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  12908  muldivbinom2  12909  recval  13910  arisum2  14432  fsumcube  14630  efi4p  14706  sincossq  14745  cos2t  14747  cos2tsin  14748  sqr2irrlem  14816  pythagtriplem1  15359  pythagtriplem2  15360  pythagtriplem6  15364  pythagtriplem7  15365  pythagtriplem12  15369  pythagtriplem14  15371  4sqlem7  15486  4sqlem10  15489  4sqlem14  15500  4cphipval2  22849  csbren  22990  rrxmval  22996  rrxmetlem  22998  dveflem  23546  coskpi  24076  coseq1  24078  tanregt0  24089  efif1olem4  24095  tanarg  24169  lawcoslem1  24345  lawcos  24346  pythag  24347  ssscongptld  24352  chordthmlem3  24361  chordthmlem4  24362  chordthmlem5  24363  heron  24365  quad2  24366  quad  24367  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dcubic1  24372  dcubic  24373  mcubic  24374  cubic2  24375  cubic  24376  binom4  24377  dquartlem1  24378  dquartlem2  24379  dquart  24380  quart1cl  24381  quart1lem  24382  quart1  24383  quartlem1  24384  quartlem2  24385  quartlem4  24387  quart  24388  asinlem3  24398  asinneg  24413  asinsin  24419  atandmcj  24436  efiatan2  24444  atandmtan  24447  cosatan  24448  cosatanne0  24449  dvatan  24462  cxp2limlem  24502  lgamgulmlem4  24558  basellem8  24614  lgsdir  24857  2sqlem4  24946  2sqlem11  24954  mulog2sumlem2  25024  mulog2sumlem3  25025  logsqvma  25031  selberglem1  25034  selberglem3  25036  selberg  25037  logdivbnd  25045  pntlemf  25094  pntlemk  25095  pntlemo  25096  ax5seglem1  25608  ax5seglem2  25609  ax5seglem6  25614  ax5seglem9  25617  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  4ipval2  26947  ipidsq  26949  cncph  27058  hhph  27419  eigvalcl  28204  bhmafibid2  28976  2sqn0  28977  2sqmod  28979  sin2h  32569  cos2h  32570  tan2h  32571  dvtan  32630  dvasin  32666  dvacos  32667  areacirclem1  32670  areacirclem2  32671  areacirclem4  32673  areacirc  32675  ismrer1  32807  pellexlem1  36411  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  pell1qrge1  36452  pell1qrgaplem  36455  rmspecsqrtnq  36488  rmspecsqrtnqOLD  36489  rmxdbl  36522  jm2.18  36573  jm2.19lem1  36574  jm2.25  36584  jm2.27c  36592  dvrecg  38800  dvmptdiv  38807  dvdivf  38812  dvdivbd  38813  itgsinexplem1  38845  itgsinexp  38846  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965  wallispi2  38966  stirlinglem1  38967  stirlinglem3  38969  stirlinglem8  38974  stirlinglem10  38976  stirlinglem15  38981  rrxtopnfi  39182  hoiqssbllem2  39513  onetansqsecsq  42301  cotsqcscsq  42302
  Copyright terms: Public domain W3C validator