MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponmax 20543
Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmax (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)

Proof of Theorem toponmax
StepHypRef Expression
1 toponuni 20542 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
2 topontop 20541 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2610 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43topopn 20536 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
52, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽𝐽)
61, 5eqeltrd 2688 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   cuni 4372  cfv 5804  Topctop 20517  TopOnctopon 20518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-top 20521  df-topon 20523
This theorem is referenced by:  topgele  20549  eltpsg  20560  en2top  20600  resttopon  20775  ordtrest  20816  ordtrest2lem  20817  ordtrest2  20818  lmfval  20846  cnpfval  20848  iscn  20849  iscnp  20851  lmbrf  20874  cncls  20888  cnconst2  20897  cnrest2  20900  cndis  20905  cnindis  20906  cnpdis  20907  lmfss  20910  lmres  20914  lmff  20915  ist1-3  20963  consuba  21033  uncon  21042  kgenval  21148  elkgen  21149  kgentopon  21151  pttoponconst  21210  tx1cn  21222  tx2cn  21223  ptcls  21229  xkoccn  21232  txlm  21261  cnmpt2res  21290  xkoinjcn  21300  qtoprest  21330  ordthmeolem  21414  pt1hmeo  21419  xkocnv  21427  flimclslem  21598  flfval  21604  flfnei  21605  isflf  21607  flfcnp  21618  txflf  21620  supnfcls  21634  fclscf  21639  fclscmp  21644  fcfval  21647  isfcf  21648  uffcfflf  21653  cnpfcf  21655  mopnm  22059  isxms2  22063  prdsxmslem2  22144  bcth2  22935  dvmptid  23526  dvmptc  23527  dvtaylp  23928  taylthlem1  23931  taylthlem2  23932  pige3  24073  dvcxp1  24281  cxpcn3  24289  ordtrestNEW  29295  ordtrest2NEWlem  29296  ordtrest2NEW  29297  topjoin  31530  areacirclem1  32670
  Copyright terms: Public domain W3C validator