Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcls 21229
 Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2 𝐽 = (∏t‘(𝑘𝐴𝑅))
ptcls.a (𝜑𝐴𝑉)
ptcls.j ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
ptcls (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘𝐴 𝑆) = X𝑘𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2 𝐽 = (∏t‘(𝑘𝐴𝑅))
2 ptcls.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
3 ptcls.j . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 ptcls.c . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆𝑋)
5 toponmax 20543 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝑅)
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝑅)
76, 4ssexd 4733 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆 ∈ V)
87ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
9 iunexg 7035 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑆 ∈ V) → 𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 691 . . 3 (𝜑 𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
11 axac3 9169 . . . 4 CHOICE
12 acacni 8845 . . . 4 ((CHOICE𝐴𝑉) → AC 𝐴 = V)
1311, 2, 12sylancr 694 . . 3 (𝜑AC 𝐴 = V)
1410, 13eleqtrrd 2691 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝑆AC 𝐴)
151, 2, 3, 4, 14ptclsg 21228 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘𝐴 𝑆) = X𝑘𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  Xcixp 7794  AC wacn 8647  CHOICEwac 8821  ∏tcpt 15922  TopOnctopon 20518  clsccl 20632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-ac2 9168 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-fi 8200  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator