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Theorem uncon 21042
 Description: The union of two connected overlapping subspaces is connected. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
uncon ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con) → (𝐽t (𝐴𝐵)) ∈ Con))

Proof of Theorem uncon
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . 3 ((𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
2 uniiun 4509 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} = 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑘
3 simpl1 1057 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 toponmax 20543 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝑋𝐽)
6 simpl2l 1107 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝐴𝑋)
75, 6ssexd 4733 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝐴 ∈ V)
8 simpl2r 1108 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝐵𝑋)
95, 8ssexd 4733 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝐵 ∈ V)
10 uniprg 4386 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
117, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
122, 11syl5eqr 2658 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑘 = (𝐴𝐵))
1312oveq2d 6565 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → (𝐽t 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑘) = (𝐽t (𝐴𝐵)))
14 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
1514elpr 4146 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
16 simpl2 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → (𝐴𝑋𝐵𝑋))
17 sseq1 3589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝑋𝐴𝑋))
1817biimprd 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → (𝐴𝑋𝑘𝑋))
19 sseq1 3589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘𝑋𝐵𝑋))
2019biimprd 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐵 → (𝐵𝑋𝑘𝑋))
2118, 20jaoa 531 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵) → ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑘𝑋))
2216, 21mpan9 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → 𝑘𝑋)
2315, 22sylan2b 491 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝑘𝑋)
24 simpl3 1059 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
25 elin 3758 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2624, 25sylib 207 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
27 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐴 → (𝑥𝑘𝑥𝐴))
2827biimprd 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥𝑘))
29 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐵 → (𝑥𝑘𝑥𝐵))
3029biimprd 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝑥𝑘))
3128, 30jaoa 531 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵) → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝑘))
3226, 31mpan9 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → 𝑥𝑘)
3315, 32sylan2b 491 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝑥𝑘)
34 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con))
35 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐴 → (𝐽t 𝑘) = (𝐽t 𝐴))
3635eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐽t 𝑘) ∈ Con ↔ (𝐽t 𝐴) ∈ Con))
3736biimprd 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐽t 𝐴) ∈ Con → (𝐽t 𝑘) ∈ Con))
38 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐵 → (𝐽t 𝑘) = (𝐽t 𝐵))
3938eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐵 → ((𝐽t 𝑘) ∈ Con ↔ (𝐽t 𝐵) ∈ Con))
4039biimprd 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐵 → ((𝐽t 𝐵) ∈ Con → (𝐽t 𝑘) ∈ Con))
4137, 40jaoa 531 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵) → (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con) → (𝐽t 𝑘) ∈ Con))
4234, 41mpan9 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → (𝐽t 𝑘) ∈ Con)
4315, 42sylan2b 491 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝐽t 𝑘) ∈ Con)
443, 23, 33, 43iuncon 21041 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → (𝐽t 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑘) ∈ Con)
4513, 44eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con)) → (𝐽t (𝐴𝐵)) ∈ Con)
4645ex 449 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con) → (𝐽t (𝐴𝐵)) ∈ Con))
47463expia 1259 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con) → (𝐽t (𝐴𝐵)) ∈ Con)))
4847exlimdv 1848 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con) → (𝐽t (𝐴𝐵)) ∈ Con)))
491, 48syl5bi 231 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐵) ≠ ∅ → (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con) → (𝐽t (𝐴𝐵)) ∈ Con)))
50493impia 1253 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐽t 𝐴) ∈ Con ∧ (𝐽t 𝐵) ∈ Con) → (𝐽t (𝐴𝐵)) ∈ Con))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  TopOnctopon 20518  Conccon 21024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-con 21025 This theorem is referenced by: (None)
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