Theorem topopn 20536

Description: The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem topopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1open.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ssid 3587	. . 3 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
3		uniopn 20527	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	1, 4	syl5eqel 2692	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  Topctop 20517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-v 3175  df-in 3547  df-ss 3554  df-pw 4110  df-uni 4373  df-top 20521

This theorem is referenced by:  riinopn  20538  toponmax  20543  cldval  20637  ntrfval  20638  clsfval  20639  iscld  20641  ntrval  20650  clsval  20651  0cld  20652  clsval2  20664  ntrtop  20684  toponmre  20707  neifval  20713  neif  20714  neival  20716  isnei  20717  tpnei  20735  lpfval  20752  lpval  20753  restcld  20786  restcls  20795  restntr  20796  cnrest  20899  cmpsub  21013  hauscmplem  21019  cmpfi  21021  iscon2  21027  consubclo  21037  1stcfb  21058  1stcelcls  21074  islly2  21097  lly1stc  21109  islocfin  21130  finlocfin  21133  cmpkgen  21164  llycmpkgen  21165  ptbasid  21188  ptpjpre2  21193  ptopn2  21197  xkoopn  21202  xkouni  21212  txcld  21216  txcn  21239  ptrescn  21252  txtube  21253  txhaus  21260  xkoptsub  21267  xkopt  21268  xkopjcn  21269  qtoptop  21313  qtopuni  21315  opnfbas  21456  flimval  21577  flimfil  21583  hausflim  21595  hauspwpwf1  21601  hauspwpwdom  21602  flimfnfcls  21642  cnpfcfi  21654  bcthlem5  22933  dvply1  23843  cldssbrsiga  29577  dya2iocucvr  29673  kur14lem7  30448  kur14lem9  30450  conpcon  30471  cvmliftmolem1  30517  ordtop  31605  ntrelmap  37443  clselmap  37445  dssmapntrcls  37446  dssmapclsntr  37447  reopn  38442