Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopuni 21315
 Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
qtopuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3587 . . . . 5 𝑌𝑌
21a1i 11 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌𝑌)
3 fof 6028 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹:𝑋𝑌)
5 fimacnv 6255 . . . . . 6 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹𝑌) = 𝑋)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) = 𝑋)
7 qtoptop.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
87topopn 20536 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑋𝐽)
106, 9eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)
117elqtop2 21314 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑌𝑌 ∧ (𝐹𝑌) ∈ 𝐽)))
122, 10, 11mpbir2and 959 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
13 elssuni 4403 . . 3 (𝑌 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹))
157elqtop2 21314 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
16 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥𝑌)
17 selpw 4115 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌𝑥𝑌)
1816, 17sylibr 223 . . . . 5 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
1915, 18syl6bi 242 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
2019ssrdv 3574 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
21 sspwuni 4547 . . 3 ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2220, 21sylib 207 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
2314, 22eqssd 3585 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  (class class class)co 6549   qTop cqtop 15986  Topctop 20517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-qtop 15990  df-top 20521 This theorem is referenced by:  qtoptopon  21317  qtopcmplem  21320  qtopkgen  21323  qtopt1  29230  qtophaus  29231  circtopn  29232
 Copyright terms: Public domain W3C validator