Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hausflim 21595
 Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hausflim (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐽   𝑓,𝑋,𝑥

Proof of Theorem hausflim
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20945 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 hausflimi 21594 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
32ralrimivw 2950 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
41, 3jca 553 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
5 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ Top)
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = 𝐽
76toptopon 20548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7sylib 207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑧𝑋)
109snssd 4281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ⊆ 𝑋)
11 snnzg 4251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → {𝑧} ≠ ∅)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑧} ≠ ∅)
13 neifil 21494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑧} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑧} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
148, 10, 12, 13syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋))
15 filfbas 21462 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋))
17 simprlr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑤𝑋)
1817snssd 4281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ⊆ 𝑋)
19 snnzg 4251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝑋 → {𝑤} ≠ ∅)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → {𝑤} ≠ ∅)
21 neifil 21494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝑤} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑤} ≠ ∅) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
228, 18, 20, 21syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋))
23 filfbas 21462 . . . . . . . . . . . 12 (((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋))
25 fbunfip 21483 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ (fBas‘𝑋)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
2616, 24, 25syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅))
276neisspw 20721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ 𝒫 𝑋)
286neisspw 20721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ 𝒫 𝑋)
2927, 28unssd 3751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋))
32 ssun1 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))
33 filn0 21476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ (Fil‘𝑋) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅)
35 ssn0 3928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ≠ ∅) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3632, 34, 35sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅)
3736a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅))
38 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
3931, 37, 383jcad 1236 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
406topopn 20536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → 𝑋𝐽)
42 fsubbas 21481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐽 → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) ↔ ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
44 fgcl 21492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋))
46 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑤)
479adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧𝑋)
4817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤𝑋)
49 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V
50 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ∈ V
5149, 50unex 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V
52 ssfii 8208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ∈ V → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))
54 ssfg 21486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5653, 55syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
5732, 56syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
588adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
59 elflim 21585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6058, 45, 59syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑧𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6147, 57, 60mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
6256unssbd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))
63 elflim 21585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6458, 45, 63syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ (𝑤𝑋 ∧ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ⊆ (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6548, 62, 64mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
66 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
67 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ↔ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
6866, 67moi 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → 𝑧 = 𝑤)
69683com23 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → 𝑧 = 𝑤)
70693expia 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7147, 48, 61, 65, 70syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))) → 𝑧 = 𝑤))
7271necon3ad 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑧𝑤 → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7346, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
74 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝐽 fLim 𝑓) = (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))))))
7574eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7675mobidv 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7776notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → (¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))))
7877rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen(fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
7945, 73, 78syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋)) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
8079ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ((fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) ∈ (fBas‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8143, 80sylbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})) ≠ ∅ ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8239, 81syld 46 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∪ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}))) → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
8326, 82sylbird 249 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ → ∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
84 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
8584ralbii 2963 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅)
86 ralnex 2975 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤}) ¬ (𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8785, 86bitri 263 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
8887ralbii 2963 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
89 ralnex 2975 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ¬ ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9088, 89bitri 263 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∀𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
91 rexnal 2978 . . . . . . . . 9 (∃𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ¬ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓))
9283, 90, 913imtr3g 283 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (¬ ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅ → ¬ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
9392con4d 113 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → (∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9493imp 444 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9594an32s 842 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑧𝑤)) → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)
9695expr 641 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
9796ralrimivva 2954 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅))
98 simpl 472 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Top)
9998, 7sylib 207 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
100 hausnei2 20967 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10199, 100syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → (𝐽 ∈ Haus ↔ ∀𝑧𝑋𝑤𝑋 (𝑧𝑤 → ∃𝑢 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑤})(𝑢𝑣) = ∅)))
10297, 101mpbird 246 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)) → 𝐽 ∈ Haus)
1034, 102impbii 198 1 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim 𝑓)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃*wmo 2459   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ficfi 8199  fBascfbas 19555  filGencfg 19556  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  neicnei 20711  Hauscha 20922  Filcfil 21459   fLim cflim 21548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-topon 20523  df-nei 20712  df-haus 20929  df-fil 21460  df-flim 21553 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator