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Theorem hausflim 20245
Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausflim  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, J    f, X, x

Proof of Theorem hausflim
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 19626 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
2 hausflimi 20244 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
32ralrimivw 2879 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
41, 3jca 532 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
5 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  J  e.  Top )
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. J
76toptopon 19229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
85, 7sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
9 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
z  e.  X )
109snssd 4172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { z }  C_  X )
11 snnzg 4144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  =/=  (/) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { z }  =/=  (/) )
13 neifil 20144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  {
z }  C_  X  /\  { z }  =/=  (/) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { z } )  e.  ( Fil `  X
) )
148, 10, 12, 13syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  ( Fil `  X ) )
15 filfbas 20112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  {
z } )  e.  ( fBas `  X
) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  (
fBas `  X )
)
17 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  w  e.  X )
1817snssd 4172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { w }  C_  X )
19 snnzg 4144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  X  ->  { w }  =/=  (/) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { w }  =/=  (/) )
21 neifil 20144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  {
w }  C_  X  /\  { w }  =/=  (/) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { w } )  e.  ( Fil `  X
) )
228, 18, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  ( Fil `  X ) )
23 filfbas 20112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  {
w } )  e.  ( fBas `  X
) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  (
fBas `  X )
)
25 fbunfip 20133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  (
fBas `  X )  /\  ( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) )  <->  A. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
2616, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  <->  A. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
276neisspw 19402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ~P X )
286neisspw 19402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ~P X )
2927, 28unssd 3680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X )
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) )  C_  ~P X ) )
32 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  C_  ( (
( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )
33 filn0 20126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  {
z } )  =/=  (/) )
3414, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { z } )  =/=  (/) )
35 ssn0 3818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  C_  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  /\  ( ( nei `  J
) `  { z } )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/) )
3632, 34, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/) )
3736a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) )  =/=  (/) ) )
38 idd 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
3931, 37, 383jcad 1177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
406topopn 19210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  X  e.  J )
42 fsubbas 20131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  J  ->  (
( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
44 fgcl 20142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
46 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  z  =/=  w )
479adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  z  e.  X )
4817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  w  e.  X )
49 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  e.  _V
50 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( nei `  J ) `
 { w }
)  e.  _V
5149, 50unex 6582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  e. 
_V
52 ssfii 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  e. 
_V  ->  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )
54 ssfg 20136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
5653, 55syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
5732, 56syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
588adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
59 elflim 20235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6058, 45, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
z  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6147, 57, 60mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
6256unssbd 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
63 elflim 20235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( w  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6458, 45, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
w  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( w  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6548, 62, 64mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
66 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  z  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
67 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  w  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6866, 67moi 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  /\  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )  ->  z  =  w )
69683com23 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  /\  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )  /\  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )  -> 
z  =  w )
70693expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  /\  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) )  ->  z  =  w ) )
7147, 48, 61, 65, 70syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  ->  z  =  w ) )
7271necon3ad 2677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
z  =/=  w  ->  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
7346, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
74 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( J  fLim  f )  =  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
7574eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  <->  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
7675mobidv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  <->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) ) ) )
7776notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  <->  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
7877rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
7945, 73, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
8143, 80sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
8239, 81syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X )  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
8326, 82sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/)  ->  E. f  e.  ( Fil `  X )  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
84 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  v )  =/=  (/)  <->  -.  ( u  i^i  v )  =  (/) )
8584ralbii 2895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } ) ( u  i^i  v
)  =/=  (/)  <->  A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } )  -.  (
u  i^i  v )  =  (/) )
86 ralnex 2910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } )  -.  ( u  i^i  v )  =  (/)  <->  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ( u  i^i  v )  =  (/) )
8785, 86bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } ) ( u  i^i  v
)  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
8887ralbii 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( ( nei `  J ) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) 
<-> 
A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } )  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } ) ( u  i^i  v
)  =  (/) )
89 ralnex 2910 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( ( nei `  J ) `  { z } )  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) 
<->  -.  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( ( nei `  J ) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) 
<->  -.  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
91 rexnal 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  ( Fil `  X )  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  <->  -.  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
9283, 90, 913imtr3g 269 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  -.  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
9392con4d 105 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
9493imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
9594an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f
) )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  z  =/=  w ) )  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
9695expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f
) )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z  =/=  w  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
9796ralrimivva 2885 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z  =/=  w  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
98 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  J  e.  Top )
9998, 7sylib 196 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
100 hausnei2 19648 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z  =/=  w  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
10199, 100syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  -> 
( J  e.  Haus  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  (
z  =/=  w  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
10297, 101mpbird 232 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  J  e.  Haus )
1034, 102impbii 188 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E*wmo 2276    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ficfi 7870   fBascfbas 18205   filGencfg 18206   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   neicnei 19392   Hauscha 19603   Filcfil 20109    fLim cflim 20198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-topon 19197  df-nei 19393  df-haus 19610  df-fil 20110  df-flim 20203
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