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Theorem hausflim 17966
Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimcf.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausflim  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, J    f, X, x

Proof of Theorem hausflim
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 17349 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
2 hausflimi 17965 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
32ralrimivw 2750 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
41, 3jca 519 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
5 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  J  e.  Top )
6 flimcf.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. J
76toptopon 16953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
85, 7sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
9 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
z  e.  X )
109snssd 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { z }  C_  X )
11 snnzg 3881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  { z }  =/=  (/) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { z }  =/=  (/) )
13 neifil 17865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  {
z }  C_  X  /\  { z }  =/=  (/) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { z } )  e.  ( Fil `  X
) )
148, 10, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  ( Fil `  X ) )
15 filfbas 17833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  {
z } )  e.  ( fBas `  X
) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  (
fBas `  X )
)
17 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  w  e.  X )
1817snssd 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { w }  C_  X )
19 snnzg 3881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  X  ->  { w }  =/=  (/) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  { w }  =/=  (/) )
21 neifil 17865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  {
w }  C_  X  /\  { w }  =/=  (/) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { w } )  e.  ( Fil `  X
) )
228, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  ( Fil `  X ) )
23 filfbas 17833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  {
w } )  e.  ( fBas `  X
) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  (
fBas `  X )
)
25 fbunfip 17854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  (
fBas `  X )  /\  ( ( nei `  J
) `  { w } )  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) )  <->  A. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
2616, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  <->  A. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
276neisspw 17126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ~P X )
286neisspw 17126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ~P X )
2927, 28unssd 3483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X )
3130a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) )  C_  ~P X ) )
32 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  C_  ( (
( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )
33 filn0 17847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  {
z } )  =/=  (/) )
3414, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { z } )  =/=  (/) )
35 ssn0 3620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  C_  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  /\  ( ( nei `  J
) `  { z } )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/) )
3632, 34, 35sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/) )
3736a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) )  =/=  (/) ) )
38 idd 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
3931, 37, 383jcad 1135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
406topopn 16934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  ->  X  e.  J )
42 fsubbas 17852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  J  ->  (
( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
44 fgcl 17863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
4544adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
46 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  z  =/=  w )
479adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  z  e.  X )
4817adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  w  e.  X )
49 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  e.  _V
50 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( nei `  J ) `
 { w }
)  e.  _V
5149, 50unex 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  e. 
_V
52 ssfii 7382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  e. 
_V  ->  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )
54 ssfg 17857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
5554adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
5653, 55syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
5732, 56syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
588adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
59 elflim 17956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6058, 45, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
z  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { z } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6147, 57, 60mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
6256unssbd 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )
63 elflim 17956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( w  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6458, 45, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
w  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  ( w  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { w } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6548, 62, 64mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
66 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  z  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
67 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  <->  w  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
6866, 67moi 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  /\  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )  ->  z  =  w )
69683com23 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  /\  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )  /\  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )  -> 
z  =  w )
70693expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  ( z  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  /\  w  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) )  ->  z  =  w ) )
7147, 48, 61, 65, 70syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) )  ->  z  =  w ) )
7271necon3ad 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
z  =/=  w  ->  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
7346, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
74 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( J  fLim  f )  =  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) )
7574eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  <->  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
7675mobidv 2289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  <->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) ) ) )
7776notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  ( -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  <->  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) ) ) ) ) )
7877rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )  u.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
7945, 73, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
8079ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )  u.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
8143, 80sylbird 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  C_  ~P X  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
)  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
8239, 81syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  u.  (
( nei `  J
) `  { w } ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X )  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
8326, 82sylbird 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/)  ->  E. f  e.  ( Fil `  X )  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
84 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  v )  =/=  (/)  <->  -.  ( u  i^i  v )  =  (/) )
8584ralbii 2690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } ) ( u  i^i  v
)  =/=  (/)  <->  A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } )  -.  (
u  i^i  v )  =  (/) )
86 ralnex 2676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } )  -.  ( u  i^i  v )  =  (/)  <->  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J ) `
 { w }
) ( u  i^i  v )  =  (/) )
8785, 86bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } ) ( u  i^i  v
)  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
8887ralbii 2690 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( ( nei `  J ) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) 
<-> 
A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } )  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { w } ) ( u  i^i  v
)  =  (/) )
89 ralnex 2676 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  ( ( nei `  J ) `  { z } )  -.  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) 
<->  -.  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
9088, 89bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( ( nei `  J ) `  { z } ) A. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =/=  (/) 
<->  -.  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
91 rexnal 2677 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  ( Fil `  X )  -.  E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  <->  -.  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
9283, 90, 913imtr3g 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( -.  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  -.  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
9392con4d 99 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  -> 
( A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f )  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
9493imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  X )  /\  z  =/=  w ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
9594an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f
) )  /\  (
( z  e.  X  /\  w  e.  X
)  /\  z  =/=  w ) )  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
9695expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f
) )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z  =/=  w  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
9796ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z  =/=  w  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
98 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  J  e.  Top )
9998, 7sylib 189 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
100 hausnei2 17371 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z  =/=  w  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
10199, 100syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  -> 
( J  e.  Haus  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  (
z  =/=  w  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { z } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { w } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
10297, 101mpbird 224 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  J  e.  Haus )
1034, 102impbii 181 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2255    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ficfi 7373   fBascfbas 16644   filGencfg 16645   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   neicnei 17116   Hauscha 17326   Filcfil 17830    fLim cflim 17919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-topon 16921  df-nei 17117  df-haus 17333  df-fil 17831  df-flim 17924
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