Theorem filfbas 21462

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 21461	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 475	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ‘cfv 5804  fBascfbas 19555  Filcfil 21459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-fil 21460

This theorem is referenced by:  0nelfil  21463  filsspw  21465  filelss  21466  filin  21468  filtop  21469  snfbas  21480  fgfil  21489  elfilss  21490  filfinnfr  21491  fgabs  21493  filcon  21497  fgtr  21504  trfg  21505  ufilb  21520  ufilmax  21521  isufil2  21522  ssufl  21532  ufileu  21533  filufint  21534  ufilen  21544  fmfg  21563  fmufil  21573  fmid  21574  fmco  21575  ufldom  21576  hausflim  21595  flimrest  21597  flimclslem  21598  flfnei  21605  isflf  21607  flfcnp  21618  fclsrest  21638  fclsfnflim  21641  flimfnfcls  21642  isfcf  21648  cnpfcfi  21654  cnpfcf  21655  cnextcn  21681  cfilufg  21907  neipcfilu  21910  cnextucn  21917  ucnextcn  21918  cfilresi  22901  cfilres  22902  cmetss  22921  relcmpcmet  22923  cfilucfil3  22925  minveclem4a  23009  filnetlem4  31546