Theorem ordtop 31605

Description: An ordinal is a topology iff it is not its supremum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtop	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Proof of Theorem ordtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 20536	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
3		nordeq 5659	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽) → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽)
4	3	ex 449	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (∪ 𝐽 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
5	2, 4	syl5 33	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
6		onsuctop 31602	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Top)
7	6	ordtoplem 31604	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Top))
8	5, 7	impbid 201	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∪ cuni 4372  Ord word 5639  Topctop 20517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522

This theorem is referenced by:  ordtopcon  31608  ordtopt0  31611  ordcmp  31616