Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpkgen 21164
 Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 𝐽 = 𝐽
2 cmptop 21008 . 2 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 480 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
41topopn 20536 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽𝐽)
6 simpr 476 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥 𝐽)
76snssd 4281 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ⊆ 𝐽)
8 opnneiss 20732 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝐽) → 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
93, 5, 7, 8syl3anc 1318 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
101restid 15917 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t 𝐽) = 𝐽)
113, 10syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐽t 𝐽) = 𝐽)
12 simpl 472 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Comp)
1311, 12eqeltrd 2688 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐽t 𝐽) ∈ Comp)
14 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → (𝐽t 𝑘) = (𝐽t 𝐽))
1514eleq1d 2672 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐽t 𝑘) ∈ Comp ↔ (𝐽t 𝐽) ∈ Comp))
1615rspcev 3282 . . 3 (( 𝐽 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝐽t 𝐽) ∈ Comp) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽t 𝑘) ∈ Comp)
179, 13, 16syl2anc 691 . 2 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑘 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝐽t 𝑘) ∈ Comp)
181, 2, 17llycmpkgen2 21163 1 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ∪ cuni 4372  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾t crest 15904  Topctop 20517  neicnei 20711  Compccmp 20999  𝑘Genckgen 21146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cmp 21000  df-kgen 21147 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator