Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrest2NEWlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2NEWlem 29296
 Description: Lemma for ordtrest2NEW 29297. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
ordtrest2NEW.2 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
ordtrest2NEW.3 (𝜑𝐴𝐵)
ordtrest2NEW.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEWlem (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑣,𝑤,𝑧   𝑣,   𝑥,𝑤,𝑧,𝑦,   𝑣,𝐴,𝑤,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem
StepHypRef Expression
1 inrab2 3859 . . . . 5 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧}
2 ordtrest2NEW.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
3 sseqin2 3779 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
42, 3sylib 207 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐵𝐴) = 𝐴)
6 rabeq 3166 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤 ∈ (𝐵𝐴) ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
81, 7syl5eq 2656 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
9 ordtNEW.l . . . . . . . . . . . . 13 = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
10 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) ∈ V
1110inex1 4727 . . . . . . . . . . . . 13 ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V
129, 11eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . 12 ∈ V
1312inex1 4727 . . . . . . . . . . 11 ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
15 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))
1615ordttopon 20807 . . . . . . . . . 10 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
18 ordtrest2NEW.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
19 tospos 28989 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
20 posprs 16772 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Poset → 𝐾 ∈ Preset )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ Preset )
22 ordtNEW.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
2322, 9prsssdm 29291 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2421, 2, 23syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2524fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOn‘dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
2617, 25eleqtrd 2690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 toponmax 20543 . . . . . . . 8 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
30 rabid2 3096 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
31 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3230, 31sylbir 224 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3329, 32syl5ibcom 234 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
34 dfrex2 2979 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
35 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 𝑧𝑥 𝑧))
3635cbvrexv 3148 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
3734, 36bitr3i 265 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧)
38 ordttop 20814 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
41 0opn 20534 . . . . . . . . . . 11 ((ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
44 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
4543, 44syl5ibrcom 236 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
46 rabn0 3912 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧)
47 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 𝑧𝑦 𝑧))
4847notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 𝑧))
4948cbvrexv 3148 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5046, 49bitri 263 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧)
5118ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
522ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → 𝐴𝐵)
5352sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
54 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑧𝐵)
5522, 9trleile 28997 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
5756ord 391 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧𝑧 𝑦))
58 an4 861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)))
59 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴)
60 rabss 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑧𝐵 ∣ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6159, 60sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6261r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6362an32s 842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥 𝑧𝑧 𝑦) → 𝑧𝐴))
6463impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥 𝑧𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
6558, 64sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧𝐴)
66 brinxp 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6766ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (𝑤 𝑧𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6867notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (¬ 𝑤 𝑧 ↔ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6968rabbidva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐴 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7065, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7124ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
72 rabeq 3166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7470, 73eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} = {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7513a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
7665, 71eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)))
7715ordtopn1 20808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7875, 76, 77syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤 ∈ dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤( ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7974, 78eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ ((𝑥𝐴𝑥 𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8079anassrs 678 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ (𝑦𝐴𝑧 𝑦)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8180expr 641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 𝑦 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8257, 81syld 46 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8382rexlimdva 3013 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8450, 83syl5bi 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ≠ ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8545, 84pm2.61dne 2868 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑥 𝑧)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8685rexlimdvaa 3014 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑥 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8737, 86syl5bi 231 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8833, 87pm2.61d 169 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
898, 88eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
9089ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
91 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) ∈ V
9222, 91eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
94 rabexg 4739 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9593, 94syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
9695ralrimivw 2950 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V)
97 eqid 2610 . . . 4 (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧}) = (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})
98 ineq1 3769 . . . . 5 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → (𝑣𝐴) = ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴))
9998eleq1d 2672 . . . 4 (𝑣 = {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} → ((𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10097, 99ralrnmpt 6276 . . 3 (∀𝑧𝐵 {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10196, 100syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝐵 ({𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
10290, 101mpbird 246 1 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ {𝑤𝐵 ∣ ¬ 𝑤 𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘( ∩ (𝐴 × 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  ordTopcordt 15982   Preset cpreset 16749  Posetcpo 16763  Tosetctos 16856  Topctop 20517  TopOnctopon 20518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-ple 15788  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-preset 16751  df-poset 16769  df-toset 16857  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523 This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  29297
 Copyright terms: Public domain W3C validator