Theorem 0opn 20534

Description: The empty set is an open subset of a topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 4401	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 3924	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 20527	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	syl5eqelr 2693	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  Topctop 20517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-v 3175  df-dif 3543  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-pw 4110  df-sn 4126  df-uni 4373  df-top 20521

This theorem is referenced by:  0ntop  20535  topgele  20549  tgclb  20585  0top  20598  en1top  20599  en2top  20600  topcld  20649  clsval2  20664  ntr0  20695  opnnei  20734  0nei  20742  restrcl  20771  rest0  20783  ordtrest2lem  20817  iocpnfordt  20829  icomnfordt  20830  cnindis  20906  iscon2  21027  kqtop  21358  mopn0  22113  locfinref  29236  ordtrest2NEWlem  29296  sxbrsigalem3  29661  cnambfre  32628