Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prsssdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prsssdm 29291
 Description: Domain of a subpreset relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
Assertion
Ref Expression
prsssdm ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem prsssdm
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ordtNEW.l . . . 4 = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
31, 2prsss 29290 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
43dmeqd 5248 . 2 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
51ressprs 28986 . . . 4 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Preset )
6 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
7 eqid 2610 . . . . 5 ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
86, 7prsdm 29288 . . . 4 ((𝐾s 𝐴) ∈ Preset → dom ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
10 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
1110, 1ressbas2 15758 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
12 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐾s 𝐴)) ∈ V
1311, 12syl6eqel 2696 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
14 eqid 2610 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1510, 14ressle 15882 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
1811adantl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
1918sqxpeqd 5065 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐴) = ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
2017, 19ineq12d 3777 . . . 4 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2120dmeqd 5248 . . 3 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
229, 21, 183eqtr4d 2654 . 2 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
234, 22eqtrd 2644 1 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   × cxp 5036  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  lecple 15775   Preset cpreset 16749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-ple 15788  df-preset 16751 This theorem is referenced by:  ordtrest2NEWlem  29296  ordtrest2NEW  29297
 Copyright terms: Public domain W3C validator