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Theorem ordtrest2NEWlem 26272
Description: Lemma for ordtrest2NEW 26273 (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtrest2NEW.2  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
ordtrest2NEW.3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
ordtrest2NEW.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEWlem  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y    x, A, y, v, w, z    v,  .<_    x, w, z, y,  .<_    v, A, w, z    v, B, w, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, v)    K( z, w, v)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem
StepHypRef Expression
1 inrab2 3620 . . . . 5  |-  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  =  { w  e.  ( B  i^i  A )  |  -.  w  .<_  z }
2 ordtrest2NEW.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
3 dfss1 3552 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
42, 3sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
54adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( B  i^i  A )  =  A )
6 rabeq 2964 . . . . . 6  |-  ( ( B  i^i  A )  =  A  ->  { w  e.  ( B  i^i  A
)  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  A  |  -.  w  .<_  z } )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  { w  e.  ( B  i^i  A
)  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  A  |  -.  w  .<_  z } )
81, 7syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  =  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z } )
9 ordtNEW.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
10 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
1110inex1 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
129, 11eqeltri 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  e.  _V
1312inex1 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
15 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
1615ordttopon 18697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
18 ordtrest2NEW.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
19 tospos 26036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
20 posprs 15115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Poset  ->  K  e.  Preset  )
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Preset  )
22 ordtNEW.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
2322, 9prsssdm 26267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
2421, 2, 23syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
2524fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (TopOn `  A )
)
2617, 25eleqtrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
27 toponmax 18433 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
2928adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
30 rabid2 2896 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  <->  A. w  e.  A  -.  w  .<_  z )
31 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  ->  ( A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
3230, 31sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  ->  ( A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
3329, 32syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
34 dfrex2 2726 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w 
.<_  z  <->  -.  A. w  e.  A  -.  w  .<_  z )
35 breq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  .<_  z  <->  x  .<_  z ) )
3635cbvrexv 2946 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w 
.<_  z  <->  E. x  e.  A  x  .<_  z )
3734, 36bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  <->  E. x  e.  A  x  .<_  z )
38 ordttop 18704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3914, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
4039adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
41 0opn 18417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top  ->  (/)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (/)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
4342adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  (/)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
44 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  (/)  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  (/) 
e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
4543, 44syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
46 rabn0 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  -.  w  .<_  z )
47 breq1 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w  .<_  z  <->  y  .<_  z ) )
4847notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w  .<_  z  <->  -.  y  .<_  z ) )
4948cbvrexv 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  A  -.  w  .<_  z  <->  E. y  e.  A  -.  y  .<_  z )
5046, 49bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  A  -.  y  .<_  z )
5118ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  K  e. Toset )
522ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  A  C_  B
)
5352sselda 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  B )
54 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  B )
5522, 9trleile 26044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e. Toset  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y  .<_  z  \/  z  .<_  y ) )
5651, 53, 54, 55syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  .<_  z  \/  z  .<_  y ) )
5756ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  .<_  z  -> 
z  .<_  y ) )
58 an4 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )
59 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
60 rabss 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { z  e.  B  | 
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) } 
C_  A  <->  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  ->  z  e.  A ) )
6159, 60sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  ->  z  e.  A
) )
6261r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  -> 
z  e.  A ) )
6362an32s 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  ->  z  e.  A ) )
6463impr 616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
6558, 64sylan2b 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
66 brinxp 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w  .<_  z  <->  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6766ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( w  .<_  z  <->  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6867notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w  .<_  z  <->  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6968rabbidva 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  A  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  { w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) z } )
7065, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7124ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
72 rabeq 2964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A  ->  { w  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7470, 73eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) z } )
7514ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
7665, 71eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  z  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7715ordtopn1 18698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  /\  z  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  { w  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7875, 76, 77syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7974, 78eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8079anassrs 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8180expr 612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
z  .<_  y  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8257, 81syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8382rexlimdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8450, 83syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =/=  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8545, 84pm2.61dne 2686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8685rexlimdvaa 2840 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( E. x  e.  A  x  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8737, 86syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( -.  A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8833, 87pm2.61d 158 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
898, 88eqeltrd 2515 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9089ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
91 fvex 5698 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
9222, 91eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
94 rabexg 4439 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V )
9593, 94syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V )
9695ralrimivw 2798 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V )
97 eqid 2441 . . . 4  |-  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  =  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )
98 ineq1 3542 . . . . 5  |-  ( v  =  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  ->  (
v  i^i  A )  =  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A ) )
9998eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( v  =  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  ->  (
( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
10097, 99ralrnmpt 5849 . . 3  |-  ( A. z  e.  B  {
w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V  ->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
10196, 100syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
10290, 101mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   dom cdm 4836   ran crn 4837   ` cfv 5415   Basecbs 14170   lecple 14241  ordTopcordt 14433    Preset cpreset 15092   Posetcpo 15106  Tosetctos 15199   Topctop 18398  TopOnctopon 18399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-ple 14254  df-topgen 14378  df-ordt 14435  df-preset 15094  df-poset 15112  df-toset 15200  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  26273
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