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Theorem ordtrest2NEWlem 28802
Description: Lemma for ordtrest2NEW 28803. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtrest2NEW.2  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
ordtrest2NEW.3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
ordtrest2NEW.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEWlem  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y    x, A, y, v, w, z    v,  .<_    x, w, z, y,  .<_    v, A, w, z    v, B, w, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, v)    K( z, w, v)

Proof of Theorem ordtrest2NEWlem
StepHypRef Expression
1 inrab2 3707 . . . . 5  |-  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  =  { w  e.  ( B  i^i  A )  |  -.  w  .<_  z }
2 ordtrest2NEW.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
3 dfss1 3628 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
42, 3sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
54adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( B  i^i  A )  =  A )
6 rabeq 3024 . . . . . 6  |-  ( ( B  i^i  A )  =  A  ->  { w  e.  ( B  i^i  A
)  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  A  |  -.  w  .<_  z } )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  { w  e.  ( B  i^i  A
)  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  A  |  -.  w  .<_  z } )
81, 7syl5eq 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  =  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z } )
9 ordtNEW.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
10 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
1110inex1 4537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
129, 11eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  e.  _V
1312inex1 4537 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
15 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
1615ordttopon 20286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
18 ordtrest2NEW.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
19 tospos 28494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
20 posprs 16272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Poset  ->  K  e.  Preset  )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Preset  )
22 ordtNEW.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
2322, 9prsssdm 28797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
2421, 2, 23syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
2524fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (TopOn `  A )
)
2617, 25eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
27 toponmax 20020 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
2928adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
30 rabid2 2954 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  <->  A. w  e.  A  -.  w  .<_  z )
31 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  ->  ( A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
3230, 31sylbir 218 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  ->  ( A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
3329, 32syl5ibcom 228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
34 dfrex2 2837 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w 
.<_  z  <->  -.  A. w  e.  A  -.  w  .<_  z )
35 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  .<_  z  <->  x  .<_  z ) )
3635cbvrexv 3006 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  w 
.<_  z  <->  E. x  e.  A  x  .<_  z )
3734, 36bitr3i 259 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  <->  E. x  e.  A  x  .<_  z )
38 ordttop 20293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
4039adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
41 0opn 20011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top  ->  (/)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (/)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
4342adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  (/)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
44 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  (/)  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  (/) 
e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
4543, 44syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
46 rabn0 3755 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  -.  w  .<_  z )
47 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w  .<_  z  <->  y  .<_  z ) )
4847notbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w  .<_  z  <->  -.  y  .<_  z ) )
4948cbvrexv 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  A  -.  w  .<_  z  <->  E. y  e.  A  -.  y  .<_  z )
5046, 49bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  A  -.  y  .<_  z )
5118ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  K  e. Toset )
522ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  A  C_  B
)
5352sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  B )
54 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  B )
5522, 9trleile 28502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e. Toset  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y  .<_  z  \/  z  .<_  y ) )
5651, 53, 54, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  .<_  z  \/  z  .<_  y ) )
5756ord 384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  .<_  z  -> 
z  .<_  y ) )
58 an4 840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )
59 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
60 rabss 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( { z  e.  B  | 
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) } 
C_  A  <->  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  ->  z  e.  A ) )
6159, 60sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  ->  z  e.  A
) )
6261r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  -> 
z  e.  A ) )
6362an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x  .<_  z  /\  z  .<_  y )  ->  z  e.  A ) )
6463impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
6558, 64sylan2b 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  z  e.  A
)
66 brinxp 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w  .<_  z  <->  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6766ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( w  .<_  z  <->  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6867notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  w  .<_  z  <->  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z ) )
6968rabbidva 3021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  A  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  { w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) z } )
7065, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7124ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
72 rabeq 3024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A  ->  { w  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  =  { w  e.  A  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z } )
7470, 73eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =  {
w  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) z } )
7513a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
7665, 71eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  z  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7715ordtopn1 20287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  /\  z  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  { w  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7875, 76, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  w ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) ) z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7974, 78eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  z )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8079anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  ( y  e.  A  /\  z  .<_  y ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8180expr 626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  (
z  .<_  y  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8257, 81syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  ( x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  y  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8382rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8450, 83syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  ( { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  =/=  (/) 
->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8545, 84pm2.61dne 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  (
x  e.  A  /\  x  .<_  z ) )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8685rexlimdvaa 2872 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( E. x  e.  A  x  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8737, 86syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( -.  A. w  e.  A  -.  w  .<_  z  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
8833, 87pm2.61d 163 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  { w  e.  A  |  -.  w  .<_  z }  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
898, 88eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9089ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
91 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
9222, 91eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
94 rabexg 4549 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V )
9593, 94syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V )
9695ralrimivw 2810 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V )
97 eqid 2471 . . . 4  |-  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  =  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )
98 ineq1 3618 . . . . 5  |-  ( v  =  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  ->  (
v  i^i  A )  =  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A ) )
9998eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( v  =  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  ->  (
( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
10097, 99ralrnmpt 6046 . . 3  |-  ( A. z  e.  B  {
w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  e.  _V  ->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
10196, 100syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z }  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
10290, 101mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275  ordTopcordt 15475    Preset cpreset 16249   Posetcpo 16263  Tosetctos 16357   Topctop 19994  TopOnctopon 19995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-ple 15288  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-preset 16251  df-poset 16269  df-toset 16358  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
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