MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pige3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pige3 24073
Description: π is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter . We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10972 . . 3 3 ∈ ℂ
21mulid2i 9922 . 2 (1 · 3) = 3
3 tru 1479 . . . . . 6
4 0xr 9965 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5 pirp 24017 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
6 3re 10971 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
7 3pos 10991 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
86, 7elrpii 11711 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 11732 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
105, 8, 9mp2an 704 . . . . . . . . 9 (π / 3) ∈ ℝ+
11 rpxr 11716 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ*
13 rpge0 11721 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≤ (π / 3)
15 lbicc2 12159 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
164, 12, 14, 15mp3an 1416 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,](π / 3))
17 ubicc2 12160 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
184, 12, 14, 17mp3an 1416 . . . . . . 7 (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
1916, 18pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
20 0re 9919 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
22 pire 24014 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
23 3ne0 10992 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2422, 6, 23redivcli 10671 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
26 efcn 24001 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
28 iccssre 12126 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
2920, 24, 28mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
30 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3577 . . . . . . . . . 10 (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
32 resmpt 5369 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
34 ssid 3587 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
36 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
37 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
38 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
40 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))
4139, 40fmptd 6292 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
42 cnelprrecn 9908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
44 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4643dvmptid 23526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → i ∈ ℂ)
4843, 37, 45, 46, 47dvmptcmul 23533 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
4936mulid1i 9921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · 1) = i
5049mpteq2i 4669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5148, 50syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5251dmeqd 5248 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5336elexi 3186 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ V
54 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5553, 54dmmpti 5936 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
5652, 55syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
57 dvcn 23490 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5835, 41, 35, 56, 57syl31anc 1321 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
59 rescncf 22508 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
6031, 58, 59mpsyl 66 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
6133, 60eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
6227, 61cncfmpt1f 22524 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
63 reelprrecn 9907 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
65 recn 9905 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
66 efcl 14652 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6739, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6865, 67sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
69 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . 12 (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
7067, 36, 69sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
7165, 70sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
72 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7372cnfldtopon 22396 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
74 toponmax 20543 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7630a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
77 df-ss 3554 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7876, 77sylib 207 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7936a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
80 efcl 14652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
82 dvef 23547 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
83 eff 14651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:ℂ⟶ℂ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
8584feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
8685oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
8782, 86, 853eqtr3a 2668 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
88 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
8943, 43, 39, 79, 81, 81, 51, 87, 88, 88dvmptco 23541 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9072, 64, 75, 78, 67, 70, 89dvmptres3 23525 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
9272tgioo2 22414 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
93 iccntr 22432 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9420, 25, 93sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9564, 68, 71, 90, 91, 92, 72, 94dvmptres2 23531 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9695dmeqd 5248 . . . . . . . 8 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
97 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
98 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
9997, 98dmmpti 5936 . . . . . . . 8 dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
10096, 99syl6eq 2660 . . . . . . 7 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
101 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10395fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
104 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
105104fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
106105oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
107106, 98, 97fvmpt3i 6196 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
108103, 107sylan9eq 2664 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
109108fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
110 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
112111sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
113112recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
114 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
11536, 113, 114sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
116 efcl 14652 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
118 absmul 13882 . . . . . . . . . 10 (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
119117, 36, 118sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
120 absefi 14765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
122 absi 13874 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘i) = 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
124121, 123oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
12544mulid1i 9921 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
126124, 125syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
127109, 119, 1263eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
128 1le1 10534 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
129127, 128syl6eqbr 4622 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
13021, 25, 62, 100, 102, 129dvlip 23560 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
1313, 19, 130mp2an 704 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
132 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
133 it0e0 11131 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 0) = 0
134132, 133syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
135134fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
136 ef0 14660 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
137135, 136syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
138 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
139 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
140137, 138, 139fvmpt3i 6196 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
14116, 140ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
142 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
143142fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
144143, 138, 139fvmpt3i 6196 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
14518, 144ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
146141, 145oveq12i 6561 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
14724recni 9931 . . . . . . . . . 10 (π / 3) ∈ ℂ
14836, 147mulcli 9924 . . . . . . . . 9 (i · (π / 3)) ∈ ℂ
149 efcl 14652 . . . . . . . . 9 ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
151 negicn 10161 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
152151, 147mulcli 9924 . . . . . . . . 9 (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
153 efcl 14652 . . . . . . . . 9 ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
154152, 153ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
155 cosval 14692 . . . . . . . . . . 11 ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
156147, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
157 sincos3rdpi 24072 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
158157simpri 477 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
159156, 158eqtr3i 2634 . . . . . . . . 9 (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
160150, 154addcli 9923 . . . . . . . . . 10 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
161 2cn 10968 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
162 2ne0 10990 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
163160, 44, 161, 162div11i 10663 . . . . . . . . 9 ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
164159, 163mpbi 219 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
16544, 150, 154, 164subaddrii 10249 . . . . . . 7 (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
166 mulneg12 10347 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
16736, 147, 166mp2an 704 . . . . . . . 8 (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
168167fveq2i 6106 . . . . . . 7 (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
169146, 165, 1683eqtri 2636 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
170169fveq2i 6106 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
171147absnegi 13987 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
172 df-neg 10148 . . . . . . . . 9 -(π / 3) = (0 − (π / 3))
173172fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
174171, 173eqtr3i 2634 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
175 rprege0 11723 . . . . . . . 8 ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
176 absid 13884 . . . . . . . 8 (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
17710, 175, 176mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
178174, 177eqtr3i 2634 . . . . . 6 (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
179178oveq2i 6560 . . . . 5 (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
180131, 170, 1793brtr3i 4612 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
18124renegcli 10221 . . . . 5 -(π / 3) ∈ ℝ
182 absefi 14765 . . . . 5 (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
183181, 182ax-mp 5 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
184147mulid2i 9922 . . . 4 (1 · (π / 3)) = (π / 3)
185180, 183, 1843brtr3i 4612 . . 3 1 ≤ (π / 3)
1866, 7pm3.2i 470 . . . 4 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
187 lemuldiv 10782 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
188101, 22, 186, 187mp3an 1416 . . 3 ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
189185, 188mpbir 220 . 2 (1 · 3) ≤ π
1902, 189eqbrtrri 4606 1 3 ≤ π
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  cin 3539  wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  +crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  csqrt 13821  abscabs 13822  expce 14631  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  fldccnfld 19567  TopOnctopon 20518  intcnt 20631  cnccncf 22487   D cdv 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator