Theorem sincos3rdpi 24072

Description: The sine and cosine of π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sincos3rdpi	⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Proof of Theorem sincos3rdpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 24015	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 10968	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 10990	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
4	2, 3	reccli 10634	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5		3cn 10972	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ne0 10992	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ 0
7	5, 6	reccli 10634	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
8	1, 4, 7	subdii 10358	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
9		halfpm6th 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
10	9	simpli 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
11	10	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) − ((1 / 2) − (1 / 6))) = ((1 / 2) − (1 / 3))
12		6cn 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
13		6nn 11066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	13	nnne0i 10932	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
15	12, 14	reccli 10634	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
16		nncan 10189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((1 / 2) − ((1 / 2) − (1 / 6))) = (1 / 6))
17	4, 15, 16	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) − ((1 / 2) − (1 / 6))) = (1 / 6)
18	11, 17	eqtr3i 2634	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
19	18	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
20	8, 19	eqtr3i 2634	. . . . 5 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
21	1, 2, 3	divreci 10649	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
22	1, 5, 6	divreci 10649	. . . . . 6 ⊢ (π / 3) = (π · (1 / 3))
23	21, 22	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
24	1, 12, 14	divreci 10649	. . . . 5 ⊢ (π / 6) = (π · (1 / 6))
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2642	. . . 4 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = (π / 6)
26	25	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 6))
27	1, 5, 6	divcli 10646	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
28		coshalfpim 24051	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3))
30		sincos6thpi 24071	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
31	30	simpri 477	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
32	26, 29, 31	3eqtr3i 2640	. 2 ⊢ (sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2)
33	25	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 6))
34		sinhalfpim 24049	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3)))
35	27, 34	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3))
36	30	simpli 473	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
37	33, 35, 36	3eqtr3i 2640	. 2 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
38	32, 37	pm3.2i 470	1 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  6c6 10951  √csqrt 13821  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by:  pige3  24073