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Theorem pige3 22638
Description:  pi is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter  2
pi. We translate this to algebra by looking at the function  _e ^ ( _i x ) as  x goes from  0 to  pi  /  3; it moves at unit speed and travels distance  1, hence  1  <_  pi 
/  3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3  |-  3  <_  pi

Proof of Theorem pige3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10601 . . 3  |-  3  e.  CC
21mulid2i 9590 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
3 tru 1378 . . . . . 6  |- T.
4 0xr 9631 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
5 pire 22580 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
6 pipos 22582 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
75, 6elrpii 11214 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
8 3re 10600 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
9 3pos 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
108, 9elrpii 11214 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
11 rpdivcl 11233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  3 )  e.  RR+ )
127, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR+
13 rpxr 11218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( pi 
/  3 )  e. 
RR* )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e. 
RR*
15 rpge0 11223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  3
) )
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( pi  /  3
)
17 lbicc2 11627 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )
184, 14, 16, 17mp3an 1319 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
19 ubicc2 11628 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
204, 14, 16, 19mp3an 1319 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  3 )  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
2118, 20pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
22 0re 9587 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
24 3ne0 10621 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
255, 8, 24redivcli 10302 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( pi  /  3
)  e.  RR )
27 efcn 22567 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
29 iccssre 11597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  C_  RR )
3022, 25, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
31 ax-resscn 9540 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
3230, 31sstri 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  CC
33 resmpt 5316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
3432, 33mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
35 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  CC  C_  CC )
37 ax-icn 9542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
39 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
4037, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
41 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )
4240, 41fmptd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC )
43 cnelprrecn 9576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
45 ax-1cn 9541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4744dvmptid 22090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
4837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
4944, 38, 46, 47, 48dvmptcmul 22097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
5037mulid1i 9589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5150mpteq2i 4525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5249, 51syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5352dmeqd 5198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5437elexi 3118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  _V
55 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  _i )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5654, 55dmmpti 5703 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  _i )  =  CC
5753, 56syl6eq 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  CC )
58 dvcn 22054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  CC )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
5936, 42, 36, 57, 58syl31anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
60 rescncf 21131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  |`  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) )
-cn-> CC ) ) )
6132, 59, 60mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6234, 61eqeltrrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6328, 62cncfmpt1f 21147 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
64 reelprrecn 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
66 recn 9573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
67 efcl 13671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
6840, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
6966, 68sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
70 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7168, 37, 70sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7266, 71sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
73 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7473cnfldtopon 21020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
75 toponmax 19191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
7674, 75mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
7731a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  RR  C_  CC )
78 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
7977, 78sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
8037a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
81 efcl 13671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
83 dvef 22111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
84 eff 13670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  exp : CC
--> CC
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
8685feqmptd 5913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
8786oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) ) )
8883, 87, 863eqtr3a 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
89 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( _i  x.  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
9044, 44, 40, 80, 82, 82, 52, 88, 89, 89dvmptco 22105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9173, 65, 76, 79, 68, 71, 90dvmptres3 22089 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9230a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
9373tgioo2 21038 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
94 iccntr 21056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9522, 26, 94sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9665, 69, 72, 91, 92, 93, 73, 95dvmptres2 22095 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9796dmeqd 5198 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
98 ovex 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i )  e. 
_V
99 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) )
10098, 99dmmpti 5703 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) )  =  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )
10197, 100syl6eq 2519 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
102 1re 9586 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
10496fveq1d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y ) )
105 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
106105fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
107106oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
108107, 99, 98fvmpt3i 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
109104, 108sylan9eq 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) ) `  y
)  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y ) )  x.  _i ) )
110109fveq2d 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) ) )
111 ioossre 11577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
113112sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  RR )
114113recnd 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  CC )
115 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
11637, 114, 115sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
117 efcl 13671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
119 absmul 13079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  y )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
120118, 37, 119sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
121 absefi 13783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
122113, 121syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
123 absi 13071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  _i )  =  1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  _i )  =  1 )
125122, 124oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
12645mulid1i 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
127125, 126syl6eq 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  1 )
128110, 120, 1273eqtrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  1 )
129 1le1 10168 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
130128, 129syl6eqbr 4479 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  <_ 
1 )
13123, 26, 63, 101, 103, 130dvlip 22124 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) ) ) )
1323, 21, 131mp2an 672 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  <_ 
( 1  x.  ( abs `  ( 0  -  ( pi  /  3
) ) ) )
133 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  0 ) )
134 it0e0 10752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
135133, 134syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  0 )
136135fveq2d 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  0
) )
137 ef0 13679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  0 )  =  1
138136, 137syl6eq 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  1 )
139 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
140 fvex 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
141138, 139, 140fvmpt3i 5947 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  =  1 )
14218, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  0 )  =  1
143 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
144143fveq2d 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
145144, 139, 140fvmpt3i 5947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) ) )
14620, 145ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )
147142, 146oveq12i 6289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
14825recni 9599 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  3 )  e.  CC
14937, 148mulcli 9592 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
150 efcl 13671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC )
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  e.  CC
152 negicn 9812 . . . . . . . . . 10  |-  -u _i  e.  CC
153152, 148mulcli 9592 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
154 efcl 13671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  x.  (
pi  /  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  e.  CC )
155153, 154ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC
156 cosval 13710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) ) )  /  2 ) )
157148, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)
158 sincos3rdpi 22637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
) )
159158simpri 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( 1  /  2 )
160157, 159eqtr3i 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )
161151, 155addcli 9591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  e.  CC
162 2cn 10597 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
163 2ne0 10619 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
164161, 45, 162, 163div11i 10294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1 )
165160, 164mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
16645, 151, 155, 165subaddrii 9899 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
167 mulneg12 9986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( pi  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
16837, 148, 167mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) )
169168fveq2i 5862 . . . . . . 7  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) )
170147, 166, 1693eqtri 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
171170fveq2i 5862 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u ( pi  /  3
) ) ) )
172148absnegi 13183 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
pi  /  3 ) )
173 df-neg 9799 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  3 )  =  ( 0  -  ( pi  /  3
) )
174173fveq2i 5862 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) )
175172, 174eqtr3i 2493 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( abs `  ( 0  -  ( pi  / 
3 ) ) )
176 rprege0 11225 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  3 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  3
) ) )
177 absid 13081 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
pi  /  3 ) )  =  ( pi 
/  3 ) )
17812, 176, 177mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( pi  /  3 )
179175, 178eqtr3i 2493 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( pi  /  3 )
180179oveq2i 6288 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( pi 
/  3 ) )
181132, 171, 1803brtr3i 4469 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( pi 
/  3 ) )
18225renegcli 9871 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  3 )  e.  RR
183 absefi 13783 . . . . 5  |-  ( -u ( pi  /  3
)  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) ) )  =  1 )
184182, 183ax-mp 5 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
185148mulid2i 9590 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( pi  /  3
)
186181, 184, 1853brtr3i 4469 . . 3  |-  1  <_  ( pi  /  3
)
1878, 9pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
188 lemuldiv 10415 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi 
<->  1  <_  ( pi  /  3 ) ) )
189102, 5, 187, 188mp3an 1319 . . 3  |-  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi  <->  1  <_  ( pi  /  3 ) )
190186, 189mpbir 209 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  <_  pi
1912, 190eqbrtrri 4463 1  |-  3  <_  pi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {cpr 4024   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   ran crn 4995    |` cres 4996   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   _ici 9485    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10197   2c2 10576   3c3 10577   RR+crp 11211   (,)cioo 11520   [,]cicc 11523   sqrcsqr 13018   abscabs 13019   expce 13650   sincsin 13652   cosccos 13653   picpi 13655   TopOpenctopn 14668   topGenctg 14684  ℂfldccnfld 18186  TopOnctopon 19157   intcnt 19279   -cn->ccncf 21110    _D cdv 21997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001
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