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Theorem pige3 23035
Description:  pi is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter  2
pi. We translate this to algebra by looking at the function  _e ^ ( _i x ) as  x goes from  0 to  pi  /  3; it moves at unit speed and travels distance  1, hence  1  <_  pi 
/  3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3  |-  3  <_  pi

Proof of Theorem pige3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10631 . . 3  |-  3  e.  CC
21mulid2i 9616 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
3 tru 1399 . . . . . 6  |- T.
4 0xr 9657 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
5 pirp 22979 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
6 3re 10630 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
7 3pos 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
86, 7elrpii 11248 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
9 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  3 )  e.  RR+ )
105, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR+
11 rpxr 11252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( pi 
/  3 )  e. 
RR* )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e. 
RR*
13 rpge0 11257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  3
) )
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( pi  /  3
)
15 lbicc2 11661 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )
164, 12, 14, 15mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
17 ubicc2 11662 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
184, 12, 14, 17mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  3 )  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
1916, 18pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
20 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
22 pire 22976 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
23 3ne0 10651 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
2422, 6, 23redivcli 10332 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( pi  /  3
)  e.  RR )
26 efcn 22963 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
28 iccssre 11631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  C_  RR )
2920, 24, 28mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
30 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
3129, 30sstri 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  CC
32 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
3331, 32mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
34 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  CC  C_  CC )
36 ax-icn 9568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
38 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
3936, 37, 38sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )
4139, 40fmptd 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC )
42 cnelprrecn 9602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
44 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4643dvmptid 22485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  _i  e.  CC )
4843, 37, 45, 46, 47dvmptcmul 22492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
4936mulid1i 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5049mpteq2i 4540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5148, 50syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5251dmeqd 5215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5336elexi 3119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  _V
54 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  _i )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5553, 54dmmpti 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  _i )  =  CC
5652, 55syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  CC )
57 dvcn 22449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  CC )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
5835, 41, 35, 56, 57syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
59 rescncf 21526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  |`  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) )
-cn-> CC ) ) )
6031, 58, 59mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6133, 60eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6227, 61cncfmpt1f 21542 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
63 reelprrecn 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
65 recn 9599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
66 efcl 13829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
6739, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
6865, 67sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
69 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7067, 36, 69sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7165, 70sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
72 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7372cnfldtopon 21415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
74 toponmax 19555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
7573, 74mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
7630a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  RR  C_  CC )
77 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
7876, 77sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
7936a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
80 efcl 13829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
82 dvef 22506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
83 eff 13828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  exp : CC
--> CC
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
8584feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
8685oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) ) )
8782, 86, 853eqtr3a 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
88 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( _i  x.  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
8943, 43, 39, 79, 81, 81, 51, 87, 88, 88dvmptco 22500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9072, 64, 75, 78, 67, 70, 89dvmptres3 22484 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
9272tgioo2 21433 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
93 iccntr 21451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9420, 25, 93sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9564, 68, 71, 90, 91, 92, 72, 94dvmptres2 22490 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9695dmeqd 5215 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
97 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i )  e. 
_V
98 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) )
9997, 98dmmpti 5716 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) )  =  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )
10096, 99syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
101 1re 9612 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
102101a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
10395fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y ) )
104 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
105104fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
106105oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
107106, 98, 97fvmpt3i 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
108103, 107sylan9eq 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) ) `  y
)  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y ) )  x.  _i ) )
109108fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) ) )
110 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
112111sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  RR )
113112recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  CC )
114 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
11536, 113, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
116 efcl 13829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
118 absmul 13138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  y )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
119117, 36, 118sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
120 absefi 13942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
121112, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
122 absi 13130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  _i )  =  1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  _i )  =  1 )
124121, 123oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
12544mulid1i 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
126124, 125syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  1 )
127109, 119, 1263eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  1 )
128 1le1 10198 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
129127, 128syl6eqbr 4493 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  <_ 
1 )
13021, 25, 62, 100, 102, 129dvlip 22519 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) ) ) )
1313, 19, 130mp2an 672 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  <_ 
( 1  x.  ( abs `  ( 0  -  ( pi  /  3
) ) ) )
132 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  0 ) )
133 it0e0 10782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
134132, 133syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  0 )
135134fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  0
) )
136 ef0 13837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  0 )  =  1
137135, 136syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  1 )
138 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
139 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
140137, 138, 139fvmpt3i 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  =  1 )
14116, 140ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  0 )  =  1
142 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
143142fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
144143, 138, 139fvmpt3i 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) ) )
14518, 144ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )
146141, 145oveq12i 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
14724recni 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  3 )  e.  CC
14836, 147mulcli 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
149 efcl 13829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC )
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  e.  CC
151 negicn 9840 . . . . . . . . . 10  |-  -u _i  e.  CC
152151, 147mulcli 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
153 efcl 13829 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  x.  (
pi  /  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  e.  CC )
154152, 153ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC
155 cosval 13869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) ) )  /  2 ) )
156147, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)
157 sincos3rdpi 23034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
) )
158157simpri 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( 1  /  2 )
159156, 158eqtr3i 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )
160150, 154addcli 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  e.  CC
161 2cn 10627 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
162 2ne0 10649 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
163160, 44, 161, 162div11i 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1 )
164159, 163mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
16544, 150, 154, 164subaddrii 9928 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
166 mulneg12 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( pi  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
16736, 147, 166mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) )
168167fveq2i 5875 . . . . . . 7  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) )
169146, 165, 1683eqtri 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
170169fveq2i 5875 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u ( pi  /  3
) ) ) )
171147absnegi 13243 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
pi  /  3 ) )
172 df-neg 9827 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  3 )  =  ( 0  -  ( pi  /  3
) )
173172fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) )
174171, 173eqtr3i 2488 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( abs `  ( 0  -  ( pi  / 
3 ) ) )
175 rprege0 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  3 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  3
) ) )
176 absid 13140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
pi  /  3 ) )  =  ( pi 
/  3 ) )
17710, 175, 176mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( pi  /  3 )
178174, 177eqtr3i 2488 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( pi  /  3 )
179178oveq2i 6307 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( pi 
/  3 ) )
180131, 170, 1793brtr3i 4483 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( pi 
/  3 ) )
18124renegcli 9899 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  3 )  e.  RR
182 absefi 13942 . . . . 5  |-  ( -u ( pi  /  3
)  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) ) )  =  1 )
183181, 182ax-mp 5 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
184147mulid2i 9616 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( pi  /  3
)
185180, 183, 1843brtr3i 4483 . . 3  |-  1  <_  ( pi  /  3
)
1866, 7pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
187 lemuldiv 10444 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi 
<->  1  <_  ( pi  /  3 ) ) )
188101, 22, 186, 187mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi  <->  1  <_  ( pi  /  3 ) )
189185, 188mpbir 209 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  <_  pi
1902, 189eqbrtrri 4477 1  |-  3  <_  pi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   _ici 9511    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   3c3 10607   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   sqrcsqrt 13077   abscabs 13078   expce 13808   sincsin 13810   cosccos 13811   picpi 13813   TopOpenctopn 14838   topGenctg 14854  ℂfldccnfld 18546  TopOnctopon 19521   intcnt 19644   -cn->ccncf 21505    _D cdv 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396
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