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Theorem pige3 20378
Description:  pi is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter  2
pi. We translate this to algebra by looking at the function  _e ^ ( _i x ) as  x goes from  0 to  pi  /  3; it moves at unit speed and travels distance  1, hence  1  <_  pi 
/  3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3  |-  3  <_  pi

Proof of Theorem pige3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10028 . . 3  |-  3  e.  CC
21mulid2i 9049 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
3 tru 1327 . . . . . 6  |-  T.
4 0xr 9087 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
5 pire 20325 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
6 pipos 20326 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
75, 6elrpii 10571 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
8 3re 10027 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
9 3pos 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  3
108, 9elrpii 10571 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR+
11 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
pi  /  3 )  e.  RR+ )
127, 10, 11mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR+
13 rpxr 10575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( pi 
/  3 )  e. 
RR* )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e. 
RR*
15 rpge0 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  3
) )
1612, 15ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( pi  /  3
)
17 lbicc2 10969 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )
184, 14, 16, 17mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
19 ubicc2 10970 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  3 )  e.  RR*  /\  0  <_  ( pi  /  3
) )  ->  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
204, 14, 16, 19mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  3 )  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )
2118, 20pm3.2i 442 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )
22 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
24 3ne0 10041 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
255, 8, 24redivcli 9737 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  3 )  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( pi  /  3
)  e.  RR )
27 efcn 20312 . . . . . . . . 9  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
29 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  C_  RR )
3022, 25, 29mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
31 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
3230, 31sstri 3317 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  C_  CC
33 resmpt 5150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
3432, 33mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( _i  x.  x ) ) )
35 ssid 3327 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  CC  C_  CC )
37 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
39 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
4037, 38, 39sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )
4240, 41fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC )
43 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
4443prid2 3873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
46 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
4845dvmptid 19796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
4937a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
5045, 38, 47, 48, 49dvmptcmul 19803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
5137mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5251mpteq2i 4252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5350, 52syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5453dmeqd 5031 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  dom  ( x  e.  CC  |->  _i ) )
5537elexi 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  _V
56 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  _i )  =  ( x  e.  CC  |->  _i )
5755, 56dmmpti 5533 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  CC  |->  _i )  =  CC
5854, 57syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  dom  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) )  =  CC )
59 dvcn 19760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) ) )  =  CC )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
6036, 42, 36, 58, 59syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
61 rescncf 18880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x
) )  |`  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) )
-cn-> CC ) ) )
6232, 60, 61mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( _i  x.  x ) )  |`  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6334, 62eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( _i  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
6428, 63cncfmpt1f 18896 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] (
pi  /  3 ) ) -cn-> CC ) )
65 reex 9037 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6665prid1 3872 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
68 recn 9036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
69 efcl 12640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  x.  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
7040, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
7168, 70sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  e.  CC )
72 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7370, 37, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
7468, 73sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  e.  CC )
75 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7675cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
77 toponmax 16948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
7876, 77mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
7931a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
80 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
8179, 80sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
8237a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
83 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
8483adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
85 dvef 19817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
86 eff 12639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  exp : CC
--> CC
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  exp : CC --> CC )
8887feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
8988oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) ) )
9085, 89, 883eqtr3a 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
91 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( _i  x.  x )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
9245, 45, 40, 82, 84, 84, 53, 90, 91, 91dvmptco 19811 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9375, 67, 78, 81, 70, 73, 92dvmptres3 19795 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9430a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
9575tgioo2 18787 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
96 iccntr 18805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( pi  /  3
)  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9722, 26, 96sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
9867, 71, 74, 93, 94, 95, 75, 97dvmptres2 19801 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) )
9998dmeqd 5031 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  dom  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) ) )
100 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i )  e. 
_V
101 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  x.  _i ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  |->  ( ( exp `  ( _i  x.  x
) )  x.  _i ) )
102100, 101dmmpti 5533 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  |->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) )  =  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )
10399, 102syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  dom  ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) )  =  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )
104 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
10698fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( RR  _D  ( x  e.  (
0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y ) )
107 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
108107fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
109108oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
110109, 101, 100fvmpt3i 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 (,) ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  x.  _i ) ) `  y )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )
111106, 110sylan9eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) ) `  y
)  =  ( ( exp `  ( _i  x.  y ) )  x.  _i ) )
112111fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) ) )
113 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
3 ) )  C_  RR
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) )  C_  RR )
115114sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  RR )
116115recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  y  e.  CC )
117 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
11837, 116, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
119 efcl 12640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
121 absmul 12054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  y )
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  y )
)  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
122120, 37, 121sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  y
) )  x.  _i ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) ) )
123 absefi 12752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
124115, 123syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
125 absi 12046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  _i )  =  1
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  _i )  =  1 )
127124, 126oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
12846mulid1i 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
129127, 128syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  x.  ( abs `  _i ) )  =  1 )
130112, 122, 1293eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  =  1 )
131 1le1 9606 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
132130, 131syl6eqbr 4209 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 0 (,) (
pi  /  3 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) ) `  y ) )  <_ 
1 )
13323, 26, 64, 103, 105, 132dvlip 19830 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  /\  (
pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  ( 0 [,] (
pi  /  3 ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) ) ) )
1343, 21, 133mp2an 654 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  <_ 
( 1  x.  ( abs `  ( 0  -  ( pi  /  3
) ) ) )
135 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  0 ) )
13637mul01i 9212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
137135, 136syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  x )  =  0 )
138137fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  0
) )
139 ef0 12648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  0 )  =  1
140138, 139syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  1 )
141 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
142 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
143140, 141, 142fvmpt3i 5768 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  =  1 )
14418, 143ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  0 )  =  1
145 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
146145fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( pi  / 
3 )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
147146, 141, 142fvmpt3i 5768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) ) )
14820, 147ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )
149144, 148oveq12i 6052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )
15025recni 9058 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  3 )  e.  CC
15137, 150mulcli 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
152 efcl 12640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( pi 
/  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC )
153151, 152ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  e.  CC
15437negcli 9324 . . . . . . . . . 10  |-  -u _i  e.  CC
155154, 150mulcli 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  e.  CC
156 efcl 12640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u _i  x.  (
pi  /  3 ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  e.  CC )
157155, 156ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  e.  CC
158 cosval 12679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) ) )  /  2 ) )
159150, 158ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)
160 sincos3rdpi 20377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  3 ) )  =  ( ( sqr `  3 )  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
3 ) )  =  ( 1  /  2
) )
161160simpri 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( cos `  ( pi  /  3
) )  =  ( 1  /  2 )
162159, 161eqtr3i 2426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )
163153, 157addcli 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  e.  CC
164 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
165 2ne0 10039 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
166163, 46, 164, 165div11i 9729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  /  2
)  =  ( 1  /  2 )  <->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1 )
167162, 166mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( pi  / 
3 ) ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
16846, 153, 157, 167subaddrii 9345 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  3 ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )
169 mulneg12 9428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( pi  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
17037, 150, 169mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) )
171170fveq2i 5690 . . . . . . 7  |-  ( exp `  ( -u _i  x.  ( pi  /  3
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) )
172149, 168, 1713eqtri 2428 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  0
)  -  ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  / 
3 ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) ) `  ( pi 
/  3 ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) )
173172fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( abs `  ( ( ( x  e.  ( 0 [,] ( pi  /  3
) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  x
) ) ) ` 
0 )  -  (
( x  e.  ( 0 [,] ( pi 
/  3 ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  x )
) ) `  (
pi  /  3 ) ) ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u ( pi  /  3
) ) ) )
174150absnegi 12158 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
pi  /  3 ) )
175 df-neg 9250 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  3 )  =  ( 0  -  ( pi  /  3
) )
176175fveq2i 5690 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u ( pi  / 
3 ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) )
177174, 176eqtr3i 2426 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( abs `  ( 0  -  ( pi  / 
3 ) ) )
178 rprege0 10582 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  3 )  e.  RR+  ->  ( ( pi  /  3 )  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  /  3
) ) )
179 absid 12056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  3
)  e.  RR  /\  0  <_  ( pi  / 
3 ) )  -> 
( abs `  (
pi  /  3 ) )  =  ( pi 
/  3 ) )
18012, 178, 179mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( abs `  ( pi  /  3
) )  =  ( pi  /  3 )
181177, 180eqtr3i 2426 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( 0  -  (
pi  /  3 ) ) )  =  ( pi  /  3 )
182181oveq2i 6051 . . . . 5  |-  ( 1  x.  ( abs `  (
0  -  ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( pi 
/  3 ) )
183134, 173, 1823brtr3i 4199 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  <_  (
1  x.  ( pi 
/  3 ) )
18425renegcli 9318 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  3 )  e.  RR
185 absefi 12752 . . . . 5  |-  ( -u ( pi  /  3
)  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  -u (
pi  /  3 ) ) ) )  =  1 )
186184, 185ax-mp 8 . . . 4  |-  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  -u ( pi 
/  3 ) ) ) )  =  1
187150mulid2i 9049 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( pi  / 
3 ) )  =  ( pi  /  3
)
188183, 186, 1873brtr3i 4199 . . 3  |-  1  <_  ( pi  /  3
)
1898, 9pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
190 lemuldiv 9845 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi 
<->  1  <_  ( pi  /  3 ) ) )
191104, 5, 189, 190mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( 1  x.  3 )  <_  pi  <->  1  <_  ( pi  /  3 ) )
192188, 191mpbir 201 . 2  |-  ( 1  x.  3 )  <_  pi
1932, 192eqbrtrri 4193 1  |-  3  <_  pi
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   expce 12619   sincsin 12621   cosccos 12622   picpi 12624   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914   intcnt 17036   -cn->ccncf 18859    _D cdv 19703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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