Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pige3 Structured version   Unicode version

Theorem pige3 22638
 Description: is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter . We translate this to algebra by looking at the function as goes from to ; it moves at unit speed and travels distance , hence . (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3

Proof of Theorem pige3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 10601 . . 3
21mulid2i 9590 . 2
3 tru 1378 . . . . . 6
4 0xr 9631 . . . . . . . 8
5 pire 22580 . . . . . . . . . . 11
6 pipos 22582 . . . . . . . . . . 11
75, 6elrpii 11214 . . . . . . . . . 10
8 3re 10600 . . . . . . . . . . 11
9 3pos 10620 . . . . . . . . . . 11
108, 9elrpii 11214 . . . . . . . . . 10
11 rpdivcl 11233 . . . . . . . . . 10
127, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . . 9
13 rpxr 11218 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8
15 rpge0 11223 . . . . . . . . 9
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8
17 lbicc2 11627 . . . . . . . 8
184, 14, 16, 17mp3an 1319 . . . . . . 7
19 ubicc2 11628 . . . . . . . 8
204, 14, 16, 19mp3an 1319 . . . . . . 7
2118, 20pm3.2i 455 . . . . . 6
22 0re 9587 . . . . . . . 8
2322a1i 11 . . . . . . 7
24 3ne0 10621 . . . . . . . . 9
255, 8, 24redivcli 10302 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
27 efcn 22567 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
29 iccssre 11597 . . . . . . . . . . . 12
3022, 25, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . 11
31 ax-resscn 9540 . . . . . . . . . . 11
3230, 31sstri 3508 . . . . . . . . . 10
33 resmpt 5316 . . . . . . . . . 10
3432, 33mp1i 12 . . . . . . . . 9
35 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11
37 ax-icn 9542 . . . . . . . . . . . . 13
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
39 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . . 13
4037, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
41 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41fmptd 6038 . . . . . . . . . . 11
43 cnelprrecn 9576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 ax-1cn 9541 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
4744dvmptid 22090 . . . . . . . . . . . . . . 15
4837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
4944, 38, 46, 47, 48dvmptcmul 22097 . . . . . . . . . . . . . 14
5037mulid1i 9589 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150mpteq2i 4525 . . . . . . . . . . . . . 14
5249, 51syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . . 13
5352dmeqd 5198 . . . . . . . . . . . 12
5437elexi 3118 . . . . . . . . . . . . 13
55 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55dmmpti 5703 . . . . . . . . . . . 12
5753, 56syl6eq 2519 . . . . . . . . . . 11
58 dvcn 22054 . . . . . . . . . . 11
5936, 42, 36, 57, 58syl31anc 1226 . . . . . . . . . 10
60 rescncf 21131 . . . . . . . . . 10
6132, 59, 60mpsyl 63 . . . . . . . . 9
6234, 61eqeltrrd 2551 . . . . . . . 8
6328, 62cncfmpt1f 21147 . . . . . . 7
64 reelprrecn 9575 . . . . . . . . . . 11
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10
66 recn 9573 . . . . . . . . . . 11
67 efcl 13671 . . . . . . . . . . . 12
6840, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
6966, 68sylan2 474 . . . . . . . . . 10
70 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . 12
7168, 37, 70sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
7266, 71sylan2 474 . . . . . . . . . 10
73 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11 fld fld
7473cnfldtopon 21020 . . . . . . . . . . . 12 fld TopOn
75 toponmax 19191 . . . . . . . . . . . 12 fld TopOn fld
7674, 75mp1i 12 . . . . . . . . . . 11 fld
7731a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
78 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78sylib 196 . . . . . . . . . . 11
8037a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
81 efcl 13671 . . . . . . . . . . . . 13
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
83 dvef 22111 . . . . . . . . . . . . 13
84 eff 13670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685feqmptd 5913 . . . . . . . . . . . . . 14
8786oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13
8883, 87, 863eqtr3a 2527 . . . . . . . . . . . 12
89 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . 12
9044, 44, 40, 80, 82, 82, 52, 88, 89, 89dvmptco 22105 . . . . . . . . . . 11
9173, 65, 76, 79, 68, 71, 90dvmptres3 22089 . . . . . . . . . 10
9230a1i 11 . . . . . . . . . 10
9373tgioo2 21038 . . . . . . . . . 10 fldt
94 iccntr 21056 . . . . . . . . . . 11
9522, 26, 94sylancr 663 . . . . . . . . . 10
9665, 69, 72, 91, 92, 93, 73, 95dvmptres2 22095 . . . . . . . . 9
9796dmeqd 5198 . . . . . . . 8
98 ovex 6302 . . . . . . . . 9
99 eqid 2462 . . . . . . . . 9
10098, 99dmmpti 5703 . . . . . . . 8
10197, 100syl6eq 2519 . . . . . . 7
102 1re 9586 . . . . . . . 8
103102a1i 11 . . . . . . 7
10496fveq1d 5861 . . . . . . . . . . 11
105 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . 14
106105fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . 13
107106oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12
108107, 99, 98fvmpt3i 5947 . . . . . . . . . . 11
109104, 108sylan9eq 2523 . . . . . . . . . 10
110109fveq2d 5863 . . . . . . . . 9
111 ioossre 11577 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
113112sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13
114113recnd 9613 . . . . . . . . . . . 12
115 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . 12
11637, 114, 115sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
117 efcl 13671 . . . . . . . . . . 11
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . 10
119 absmul 13079 . . . . . . . . . 10
120118, 37, 119sylancl 662 . . . . . . . . 9
121 absefi 13783 . . . . . . . . . . . 12
122113, 121syl 16 . . . . . . . . . . 11
123 absi 13071 . . . . . . . . . . . 12
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11
125122, 124oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10
12645mulid1i 9589 . . . . . . . . . 10
127125, 126syl6eq 2519 . . . . . . . . 9
128110, 120, 1273eqtrd 2507 . . . . . . . 8
129 1le1 10168 . . . . . . . 8
130128, 129syl6eqbr 4479 . . . . . . 7
13123, 26, 63, 101, 103, 130dvlip 22124 . . . . . 6
1323, 21, 131mp2an 672 . . . . 5
133 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . 13
134 it0e0 10752 . . . . . . . . . . . . 13
135133, 134syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . 12
136135fveq2d 5863 . . . . . . . . . . 11
137 ef0 13679 . . . . . . . . . . 11
138136, 137syl6eq 2519 . . . . . . . . . 10
139 eqid 2462 . . . . . . . . . 10
140 fvex 5869 . . . . . . . . . 10
141138, 139, 140fvmpt3i 5947 . . . . . . . . 9
14218, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8
143 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11
144143fveq2d 5863 . . . . . . . . . 10
145144, 139, 140fvmpt3i 5947 . . . . . . . . 9
14620, 145ax-mp 5 . . . . . . . 8
147142, 146oveq12i 6289 . . . . . . 7
14825recni 9599 . . . . . . . . . 10
14937, 148mulcli 9592 . . . . . . . . 9
150 efcl 13671 . . . . . . . . 9
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . 8
152 negicn 9812 . . . . . . . . . 10
153152, 148mulcli 9592 . . . . . . . . 9
154 efcl 13671 . . . . . . . . 9
155153, 154ax-mp 5 . . . . . . . 8
156 cosval 13710 . . . . . . . . . . 11
157148, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
158 sincos3rdpi 22637 . . . . . . . . . . 11
159158simpri 462 . . . . . . . . . 10
160157, 159eqtr3i 2493 . . . . . . . . 9
161151, 155addcli 9591 . . . . . . . . . 10
162 2cn 10597 . . . . . . . . . 10
163 2ne0 10619 . . . . . . . . . 10
164161, 45, 162, 163div11i 10294 . . . . . . . . 9
165160, 164mpbi 208 . . . . . . . 8
16645, 151, 155, 165subaddrii 9899 . . . . . . 7
167 mulneg12 9986 . . . . . . . . 9
16837, 148, 167mp2an 672 . . . . . . . 8
169168fveq2i 5862 . . . . . . 7
170147, 166, 1693eqtri 2495 . . . . . 6
171170fveq2i 5862 . . . . 5
172148absnegi 13183 . . . . . . . 8
173 df-neg 9799 . . . . . . . . 9
174173fveq2i 5862 . . . . . . . 8
175172, 174eqtr3i 2493 . . . . . . 7
176 rprege0 11225 . . . . . . . 8
177 absid 13081 . . . . . . . 8
17812, 176, 177mp2b 10 . . . . . . 7
179175, 178eqtr3i 2493 . . . . . 6
180179oveq2i 6288 . . . . 5
181132, 171, 1803brtr3i 4469 . . . 4
18225renegcli 9871 . . . . 5
183 absefi 13783 . . . . 5
184182, 183ax-mp 5 . . . 4
185148mulid2i 9590 . . . 4
186181, 184, 1853brtr3i 4469 . . 3
1878, 9pm3.2i 455 . . . 4
188 lemuldiv 10415 . . . 4
189102, 5, 187, 188mp3an 1319 . . 3
190186, 189mpbir 209 . 2
1912, 190eqbrtrri 4463 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   wceq 1374   wtru 1375   wcel 1762   cin 3470   wss 3471  cpr 4024   class class class wbr 4442   cmpt 4500   cdm 4994   crn 4995   cres 4996  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6277  cc 9481  cr 9482  cc0 9483  c1 9484  ci 9485   caddc 9486   cmul 9488  cxr 9618   clt 9619   cle 9620   cmin 9796  cneg 9797   cdiv 10197  c2 10576  c3 10577  crp 11211  cioo 11520  cicc 11523  csqr 13018  cabs 13019  ce 13650  csin 13652  ccos 13653  cpi 13655  ctopn 14668  ctg 14684  ℂfldccnfld 18186  TopOnctopon 19157  cnt 19279  ccncf 21110   cdv 21997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator