Theorem toponuni 20542

Description: The base set of a topology on a given base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponuni	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem toponuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopon 20540	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 = ∪ 𝐽))
2	1	simprbi 479	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  Topctop 20517  TopOnctopon 20518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topon 20523

This theorem is referenced by:  toponmax  20543  toponss  20544  toponcom  20545  toponunii  20547  topgele  20549  topontopn  20557  toponmre  20707  cldmreon  20708  restuni  20776  resttopon2  20782  restlp  20797  restperf  20798  perfopn  20799  ordtcld1  20811  ordtcld2  20812  lmfval  20846  cnfval  20847  cnpfval  20848  cnpf2  20864  cnprcl2  20865  ssidcn  20869  iscnp4  20877  iscncl  20883  cncls2  20887  cncls  20888  cnntr  20889  cncnp  20894  lmcls  20916  lmcld  20917  iscnrm2  20952  ist0-2  20958  ist1-2  20961  ishaus2  20965  isreg2  20991  ordtt1  20993  sscmp  21018  dfcon2  21032  clscon  21043  concompcld  21047  1stccnp  21075  locfincf  21144  kgenval  21148  kgenuni  21152  1stckgenlem  21166  kgen2ss  21168  kgencn2  21170  txtopon  21204  txuni  21205  pttopon  21209  ptuniconst  21211  txcls  21217  ptclsg  21228  dfac14lem  21230  xkoccn  21232  ptcnplem  21234  ptcn  21240  cnmpt1t  21278  cnmpt2t  21286  cnmpt1res  21289  cnmpt2res  21290  cnmptkp  21293  cnmptk1p  21298  cnmptk2  21299  xkoinjcn  21300  elqtop3  21316  qtoptopon  21317  qtopcld  21326  qtoprest  21330  qtopcmap  21332  kqval  21339  kqcldsat  21346  isr0  21350  r0cld  21351  regr1lem  21352  kqnrmlem1  21356  kqnrmlem2  21357  pt1hmeo  21419  xpstopnlem1  21422  neifil  21494  trnei  21506  elflim  21585  flimss2  21586  flimss1  21587  flimopn  21589  fbflim2  21591  flimclslem  21598  flffval  21603  flfnei  21605  cnpflf2  21614  cnflf  21616  cnflf2  21617  isfcls2  21627  fclsopn  21628  fclsnei  21633  fclscmp  21644  ufilcmp  21646  fcfval  21647  fcfnei  21649  fcfelbas  21650  cnpfcf  21655  cnfcf  21656  alexsublem  21658  tmdcn2  21703  tmdgsum  21709  tmdgsum2  21710  symgtgp  21715  subgntr  21720  opnsubg  21721  clssubg  21722  clsnsg  21723  cldsubg  21724  tgpconcompeqg  21725  tgpconcomp  21726  ghmcnp  21728  snclseqg  21729  tgphaus  21730  tgpt1  21731  prdstmdd  21737  prdstgpd  21738  tsmsgsum  21752  tsmsid  21753  tsmsmhm  21759  tsmsadd  21760  tgptsmscld  21764  utop3cls  21865  mopnuni  22056  isxms2  22063  prdsxmslem2  22144  metdseq0  22465  cnmpt2pc  22535  ishtpy  22579  om1val  22638  pi1val  22645  csscld  22856  clsocv  22857  cfilfcls  22880  relcmpcmet  22923  limcres  23456  limccnp  23461  limccnp2  23462  dvbss  23471  perfdvf  23473  dvreslem  23479  dvres2lem  23480  dvcnp2  23489  dvaddbr  23507  dvmulbr  23508  dvcmulf  23514  dvmptres2  23531  dvmptcmul  23533  dvmptntr  23540  dvcnvrelem2  23585  ftc1cn  23610  taylthlem1  23931  ulmdvlem3  23960  efrlim  24496  pl1cn  29329  cvxpcon  30478  cvxscon  30479  ivthALT  31500  neibastop2  31526  neibastop3  31527  topmeet  31529  topjoin  31530  refsum2cnlem1  38219  dvresntr  38806  rrxunitopnfi  39188