Theorem mulne0d 10558

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 10557	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 958	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  divdivdiv  10605  absrpcl  13876  prodfn0  14465  ntrivcvgmullem  14472  fprodn0f  14561  tanval3  14703  tanaddlem  14735  tanadd  14736  lcmgcdlem  15157  pcqmul  15396  abvdom  18661  itg1mulc  23277  dgrmul  23830  aalioulem4  23894  taylthlem2  23932  tanarg  24169  mulcxp  24231  cxpmul2  24235  relogbmul  24315  angcan  24332  ssscongptld  24352  chordthmlem2  24360  quad2  24366  dcubic2  24371  dcubic  24373  mcubic  24374  cubic2  24375  cubic  24376  lgamgulmlem2  24556  lgsdilem2  24858  lgsdi  24859  pntrlog2bndlem2  25067  padicabv  25119  ttgcontlem1  25565  qqhghm  29360  qqhrhm  29361  knoppndvlem1  31673  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem7  31679  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem16  31688  itg2addnclem  32631  areacirclem1  32670  radcnvrat  37535  divcan8d  38468  mccllem  38664  clim1fr1  38668  reclimc  38720  dvdivcncf  38817  stoweidlem1  38894  wallispilem4  38961  wallispilem5  38962  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965  wallispi2  38966  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem10  38976  stirlinglem12  38978  stirlinglem13  38979  stirlinglem14  38980  stirlinglem15  38981  dirker2re  38985  dirkerdenne0  38986  dirkerval2  38987  dirkerre  38988  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem43  39043  fourierdlem57  39056  fourierdlem58  39057  fourierdlem62  39061  fourierdlem66  39065  fourierdlem68  39067  fourierdlem72  39071  fourierdlem76  39075  fourierdlem78  39077  fourierdlem80  39079  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierswlem  39123  fouriersw  39124  sigardiv  39699  cevathlem1  39705