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Theorem areacirclem1 30309
Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem1  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    t, R

Proof of Theorem areacirclem1
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9513 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  RR  e.  { RR ,  CC }
)
3 elioore 11498 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  t  e.  RR )
43recnd 9551 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  t  e.  CC )
54adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
t  e.  CC )
6 rpcn 11165 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
76adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  e.  CC )
8 rpne0 11172 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  =/=  0 )
98adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  =/=  0 )
105, 7, 9divcld 10255 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  CC )
11 asincl 23339 . . . . 5  |-  ( ( t  /  R )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( t  /  R
) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
(arcsin `  ( t  /  R ) )  e.  CC )
13 1cnd 9541 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
1  e.  CC )
1410sqcld 12229 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  CC )
1513, 14subcld 9862 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  CC )
1615sqrtcld 13289 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1710, 16mulcld 9545 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
1812, 17addcld 9544 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( (arcsin `  (
t  /  R ) )  +  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
19 ovex 6242 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R
) )  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) )  e.  _V )
21 rpre 11163 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
2221renegcld 9922 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR )
2322rexrd 9572 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR* )
24 rpxr 11164 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
25 elioo2 11509 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u R  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
27 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
2821adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
298adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  =/=  0 )
3027, 28, 29redivcld 10307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  /  R )  e.  RR )
3130a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( t  /  R )  e.  RR ) )
326mulm1d 9944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1  x.  R )  =  -u R )
3332adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  R )  =  -u R )
3433breq1d 4390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u 1  x.  R
)  <  t  <->  -u R  < 
t ) )
35 neg1rr 10575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  RR
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
37 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
3836, 27, 37ltmuldivd 11238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u 1  x.  R
)  <  t  <->  -u 1  < 
( t  /  R
) ) )
3934, 38bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u R  <  t  <->  -u 1  < 
( t  /  R
) ) )
4039biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u R  <  t  ->  -u 1  <  ( t  /  R ) ) )
4140adantrd 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  -u 1  <  (
t  /  R ) ) )
42 1red 9540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
4327, 42, 37ltdivmuld 11242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
)  <  1  <->  t  <  ( R  x.  1 ) ) )
446mulid1d 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
4544adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
4645breq2d 4392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  ( R  x.  1 )  <->  t  <  R ) )
4743, 46bitr2d 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  R  <->  ( t  /  R )  <  1
) )
4847biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  R  ->  ( t  /  R )  <  1 ) )
4948adantld 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( t  /  R )  <  1
) )
5031, 41, 493jcad 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) ) )
5150exp4b 605 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <  t  -> 
( t  <  R  ->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) ) ) )
52513impd 1208 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  <  R )  -> 
( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) )
5326, 52sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  (
( t  /  R
)  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) )
5453imp 427 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) )
5535rexri 9575 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR*
56 1re 9524 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
5756rexri 9575 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
58 elioo2 11509 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( t  /  R )  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) ) )
5955, 57, 58mp2an 670 . . . . 5  |-  ( ( t  /  R )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( (
t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) )
6054, 59sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
61 ovex 6242 . . . . 5  |-  ( 1  /  R )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  _V )
63 elioore 11498 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  u  e.  RR )
6463recnd 9551 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  u  e.  CC )
65 asincl 23339 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  CC  ->  (arcsin `  u )  e.  CC )
66 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  CC  ->  u  e.  CC )
67 1cnd 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  CC  ->  1  e.  CC )
68 sqcl 12152 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
6967, 68subcld 9862 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
7069sqrtcld 13289 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
7166, 70mulcld 9545 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
7265, 71addcld 9544 . . . . . 6  |-  ( u  e.  CC  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
7364, 72syl 16 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
7473adantl 464 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( (arcsin `  u
)  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
75 ovex 6242 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
7675a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
77 recn 9511 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
7877adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
79 1cnd 9541 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
802dvmptid 22464 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
81 ioossre 11525 . . . . . . 7  |-  ( -u R (,) R )  C_  RR
8281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R (,) R )  C_  RR )
83 eqid 2392 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8483tgioo2 21412 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
85 iooretop 21377 . . . . . . 7  |-  ( -u R (,) R )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R (,) R )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
872, 78, 79, 80, 82, 84, 83, 86dvmptres 22470 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  1 ) )
882, 5, 13, 87, 6, 8dvmptdivc 22472 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( t  /  R ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( 1  /  R ) ) )
8964, 65syl 16 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  u )  e.  CC )
9089adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
(arcsin `  u )  e.  CC )
91 ovex 6242 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
9291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
93 dvreasin 30307 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
94 asinf 23338 . . . . . . . . . 10  |- arcsin : CC --> CC
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  -> arcsin : CC --> CC )
96 ioossre 11525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
97 ax-resscn 9478 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
9896, 97sstri 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC )
10095, 99feqresmpt 5841 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) )
101100oveq2d 6230 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) ) )
10293, 101syl5reqr 2448 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
10364, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
104103adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
105 ovex 6242 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  e.  _V
106105a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  e.  _V )
10764adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  u  e.  CC )
108 1cnd 9541 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
1  e.  CC )
109 recn 9511 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  CC )
110109adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  CC )
111 1cnd 9541 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
1122dvmptid 22464 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  u ) )  =  ( u  e.  RR  |->  1 ) )
11396a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR )
114 iooretop 21377 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
115114a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1162, 110, 111, 112, 113, 84, 83, 115dvmptres 22470 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  u ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  1 ) )
11764, 70syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
118117adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
119 ovex 6242 . . . . . . . 8  |-  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
121 1red 9540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
12263resqcld 12257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
123121, 122resubcld 9923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  RR )
124 elioo2 11509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( u  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) ) )
12555, 57, 124mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) )
126 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  RR )
127 1red 9540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  1  e.  RR )
128126, 127absltd 13282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  ( -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) ) )
129109abscld 13288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  ( abs `  u )  e.  RR )
130109absge0d 13296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  u
) )
131 0le1 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  1 )
133129, 127, 130, 132lt2sqd 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  ( ( abs `  u ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
134 absresq 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
135 sq1 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
137134, 136breq12d 4393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( ( abs `  u
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( u ^ 2 )  <  1 ) )
138 resqcl 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
139138, 127posdifd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( u ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
140133, 137, 1393bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
141128, 140bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  u  /\  u  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
142141biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  u  /\  u  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
1431423impib 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )
144125, 143sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) )
145123, 144elrpd 11192 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  RR+ )
146145adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  e.  RR+ )
147 negex 9749 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
2  x.  u )  e.  _V
148147a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  -u ( 2  x.  u
)  e.  _V )
149 rpcn 11165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  RR+  ->  v  e.  CC )
150149sqrtcld 13289 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  RR+  ->  ( sqr `  v )  e.  CC )
151150adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  v )  e.  CC )
152 ovex 6242 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  e. 
_V
153152a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  e. 
_V )
154 1cnd 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  1  e.  CC )
155109sqcld 12229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
156154, 155subcld 9862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  RR  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
157156adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
158147a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  -u (
2  x.  u )  e.  _V )
159 0red 9526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
160 1cnd 9541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  1  e.  CC )
1612, 160dvmptc 22465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( u  e.  RR  |->  0 ) )
162155adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
163 ovex 6242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  u )  e. 
_V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
2  x.  u )  e.  _V )
16583cnfldtopon 21394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
166 toponmax 19533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
167165, 166mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
168 df-ss 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
16997, 168mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
i^i  CC )  =  RR
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
i^i  CC )  =  RR )
17168adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  CC )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
172163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  CC )  ->  (
2  x.  u )  e.  _V )
173 2nn 10628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
174 dvexp 22460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
175173, 174ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^ (
2  -  1 ) ) ) )
176 2m1e1 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
177176oveq2i 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( u ^ 1 )
178 exp1 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ 1 )  =  u )
179177, 178syl5eq 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ ( 2  -  1 ) )  =  u )
180179oveq2d 6230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  CC  ->  (
2  x.  ( u ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  u ) )
181180mpteq2ia 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) )
182175, 181eqtri 2421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) )
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) ) )
18483, 2, 167, 170, 171, 172, 183dvmptres3 22463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 2  x.  u ) ) )
1852, 111, 159, 161, 162, 164, 184dvmptsub 22474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  u
) ) ) )
186 df-neg 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
2  x.  u )  =  ( 0  -  ( 2  x.  u
) )
187186mpteq2i 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  RR  |->  -u (
2  x.  u ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  u ) ) )
188185, 187syl6eqr 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  -u ( 2  x.  u ) ) )
1892, 157, 158, 188, 113, 84, 83, 115dvmptres 22470 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  -u (
2  x.  u ) ) )
190 dvsqrt 23224 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( v  e.  RR+  |->  ( sqr `  v
) ) )  =  ( v  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  v ) ) ) )
191190a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( v  e.  RR+  |->  ( sqr `  v
) ) )  =  ( v  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  v ) ) ) ) )
192 fveq2 5787 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  v )  =  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
193192oveq2d 6230 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  v ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
194193oveq2d 6230 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
1952, 2, 146, 148, 151, 153, 189, 191, 192, 194dvmptco 22479 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u
) ) ) )
196 2cnd 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  e.  CC )
197196, 64mulneg2d 9946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  -u u
)  =  -u (
2  x.  u ) )
198197oveq1d 6229 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  u )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
19964negcld 9849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u u  e.  CC )
200144gt0ne0d 10052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  =/=  0 )
20164, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
202201adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
203 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )
204202, 203sqr00d 13293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  =  0 )
205204ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  =  0 ) )
206205necon3d 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  =/=  0  -> 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
207200, 206mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
208 2ne0 10563 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
209208a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  =/=  0 )
210199, 117, 196, 207, 209divcan5d 10281 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
211196, 64mulcld 9545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  u )  e.  CC )
212211negcld 9849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
2  x.  u )  e.  CC )
213196, 117mulcld 9545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
214196, 117, 209, 207mulne0d 10136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
215212, 213, 214divrec2d 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( 2  x.  u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  u ) ) )
216198, 210, 2153eqtr3rd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u ) )  =  ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
217216mpteq2ia 4462 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u
) ) )  =  ( u  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
218195, 217syl6eq 2449 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
2192, 107, 108, 116, 118, 120, 218dvmptmul 22468 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) )
2202, 90, 92, 102, 104, 106, 219dvmptadd 22467 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( (arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) ) )
221117mulid2d 9543 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
222199, 117, 207divcld 10255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
223222, 64mulcomd 9546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u )  =  ( u  x.  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
22464, 199, 117, 207divassd 10290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( u  x.  -u u
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  x.  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
22564, 64mulneg2d 9946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  -u u
)  =  -u (
u  x.  u ) )
22664sqvald 12228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  =  ( u  x.  u ) )
227226negeqd 9745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
u ^ 2 )  =  -u ( u  x.  u ) )
228225, 227eqtr4d 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  -u u
)  =  -u (
u ^ 2 ) )
229228oveq1d 6229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( u  x.  -u u
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
230223, 224, 2293eqtr2d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u )  =  ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
231221, 230oveq12d 6232 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
23264sqcld 12229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
233232negcld 9849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
u ^ 2 )  e.  CC )
234233, 117, 207divcld 10255 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
235117, 234addcomd 9711 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
236231, 235eqtrd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  =  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) )
237236oveq2d 6230 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) ) )
2381172timesd 10716 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )
23967, 68negsubd 9868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )
24069sqsqrtd 13291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )
24170sqvald 12228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
242239, 240, 2413eqtr2d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
24364, 242syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
244243oveq1d 6229 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  +  -u ( u ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
245 1cnd 9541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  CC )
246245, 233, 117, 207divdird 10293 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  +  -u ( u ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
247117, 117, 207divcan3d 10260 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) )
248244, 246, 2473eqtr3rd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 6229 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )
250117, 207reccld 10248 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
251250, 234, 117addassd 9547 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) ) )
252238, 249, 2513eqtrrd 2438 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
253237, 252eqtrd 2433 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
254253mpteq2ia 4462 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
255220, 254syl6eq 2449 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( (arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
256 fveq2 5787 . . . . 5  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (arcsin `  u )  =  (arcsin `  ( t  /  R
) ) )
257 id 22 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  u  =  ( t  /  R ) )
258 oveq1 6221 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
u ^ 2 )  =  ( ( t  /  R ) ^
2 ) )
259258oveq2d 6230 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )
260259fveq2d 5791 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
261257, 260oveq12d 6232 . . . . 5  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
262256, 261oveq12d 6232 . . . 4  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( (arcsin `  (
t  /  R ) )  +  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
263260oveq2d 6230 . . . 4  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
2642, 2, 60, 62, 74, 76, 88, 255, 262, 263dvmptco 22479 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) ) )
2656sqcld 12229 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
2662, 18, 20, 264, 265dvmptcmul 22471 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) ) ) ) )
267 2cnd 10543 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
2  e.  CC )
268267, 16mulcld 9545 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2696, 8reccld 10248 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 1  /  R )  e.  CC )
270269adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  CC )
271268, 270mulcomd 9546 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
272271oveq2d 6230 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
273265adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  CC )
274273, 270, 268mulassd 9548 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
2756sqvald 12228 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =  ( R  x.  R
) )
276275oveq1d 6229 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  /  R )  =  ( ( R  x.  R )  /  R
) )
277265, 6, 8divrecd 10258 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  /  R )  =  ( ( R ^
2 )  x.  (
1  /  R ) ) )
2786, 6, 8divcan3d 10260 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R  x.  R )  /  R )  =  R )
279276, 277, 2783eqtr3d 2441 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R ) )  =  R )
280279adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  /  R ) )  =  R )
281280oveq1d 6229 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( R  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2827, 267, 16mul12d 9718 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
28321resqcld 12257 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
284283adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  RR )
28521sqge0d 12258 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
( R ^ 2 ) )
286285adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <_  ( R ^ 2 ) )
287 1red 9540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
1  e.  RR )
2883adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
t  e.  RR )
28921adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  e.  RR )
290288, 289, 9redivcld 10307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  RR )
291290resqcld 12257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  RR )
292287, 291resubcld 9923 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  RR )
293 0red 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  e.  RR )
29427, 28absltd 13282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  ( -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
29577abscld 13288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
296295adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
29777absge0d 13296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
298297adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
299 rpge0 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
300299adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
301296, 28, 298, 300lt2sqd 12265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <  ( R ^ 2 ) ) )
302 absresq 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
303302adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
304265adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
305304mulid1d 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  x.  1 )  =  ( R ^
2 ) )
306305eqcomd 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  =  ( ( R ^
2 )  x.  1 ) )
307303, 306breq12d 4393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  t
) ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  ( t ^ 2 )  < 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
3086adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
30978, 308, 29sqdivd 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) )
310309breq1d 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <  1  <->  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <  1 ) )
31130resqcld 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  e.  RR )
312311, 42posdifd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
313 resqcl 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
314313adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
315 rpgt0 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
316 0red 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
317 0le0 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  <_  0
318317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
319316, 21, 318, 299lt2sqd 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  ( 0 ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) ) )
320 sq0 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
321320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0 ^ 2 )  =  0 )
322321breq1d 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
323319, 322bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
324315, 323mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
( R ^ 2 ) )
325283, 324elrpd 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
326325adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
327314, 42, 326ltdivmuld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t ^
2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <  1  <->  ( t ^ 2 )  < 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
328310, 312, 3273bitr3rd 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  <  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
329301, 307, 3283bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
330294, 329bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
331330biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  0  <  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
332331exp4b 605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <  t  -> 
( t  <  R  ->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) ) ) )
3333323impd 1208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  <  R )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
33426, 333sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  0  <  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )
335334imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
336293, 292, 335ltled 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
337284, 286, 292, 336sqrtmuld 13277 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
338273, 13, 14subdid 9948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
339273mulid1d 9542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  1 )  =  ( R ^ 2 ) )
3405, 7, 9sqdivd 12244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  /  ( R ^
2 ) ) )
341340oveq2d 6230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) ) )
3424sqcld 12229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  (
t ^ 2 )  e.  CC )
343342adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t ^ 2 )  e.  CC )
344 sqne0 12156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  CC  ->  (
( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
3456, 344syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
3468, 345mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =/=  0 )
347346adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  =/=  0 )
348343, 273, 347divcan2d 10257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) ) )  =  ( t ^ 2 ) )
349341, 348eqtrd 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( t ^ 2 ) )
350339, 349oveq12d 6232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  (
( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
351338, 350eqtrd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
352351fveq2d 5791 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
35321, 299sqrtsqd 13272 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
354353adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
355354oveq1d 6229 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )
356337, 352, 3553eqtr3rd 2442 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
357356oveq2d 6230 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 2  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
358281, 282, 3573eqtrd 2437 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
359272, 274, 3583eqtr2d 2439 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
360359mpteq2dva 4466 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
361266, 360eqtrd 2433 1  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2587   _Vcvv 3047    i^i cin 3401    C_ wss 3402   {cpr 3959   class class class wbr 4380    |-> cmpt 4438   ran crn 4927    |` cres 4928   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   CCcc 9419   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424    x. cmul 9426   RR*cxr 9556    < clt 9557    <_ cle 9558    - cmin 9736   -ucneg 9737    / cdiv 10141   NNcn 10470   2c2 10520   RR+crp 11157   (,)cioo 11468   ^cexp 12088   sqrcsqrt 13087   abscabs 13088   TopOpenctopn 14848   topGenctg 14864  ℂfldccnfld 18552  TopOnctopon 19499    _D cdv 22371  arcsincasin 23328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-fi 7804  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-q 11120  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-ioo 11472  df-ioc 11473  df-ico 11474  df-icc 11475  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-fac 12275  df-bc 12302  df-hash 12327  df-shft 12921  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-limsup 13315  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-ef 13824  df-sin 13826  df-cos 13827  df-tan 13828  df-pi 13829  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-hom 14745  df-cco 14746  df-rest 14849  df-topn 14850  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-topgen 14870  df-pt 14871  df-prds 14874  df-xrs 14928  df-qtop 14933  df-imas 14934  df-xps 14936  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-mulg 16196  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-psmet 18543  df-xmet 18544  df-met 18545  df-bl 18546  df-mopn 18547  df-fbas 18548  df-fg 18549  df-cnfld 18553  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-topsp 19507  df-cld 19624  df-ntr 19625  df-cls 19626  df-nei 19704  df-lp 19742  df-perf 19743  df-cn 19833  df-cnp 19834  df-haus 19921  df-cmp 19992  df-tx 20167  df-hmeo 20360  df-fil 20451  df-fm 20543  df-flim 20544  df-flf 20545  df-xms 20927  df-ms 20928  df-tms 20929  df-cncf 21486  df-limc 22374  df-dv 22375  df-log 23048  df-cxp 23049  df-asin 23331
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