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Theorem areacirclem1 32096
Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem1  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    t, R

Proof of Theorem areacirclem1
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9649 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
21a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  RR  e.  { RR ,  CC }
)
3 elioore 11691 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  t  e.  RR )
43recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  t  e.  CC )
54adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
t  e.  CC )
6 rpcn 11333 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
76adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  e.  CC )
8 rpne0 11340 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  =/=  0 )
98adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  =/=  0 )
105, 7, 9divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  CC )
11 asincl 23878 . . . . 5  |-  ( ( t  /  R )  e.  CC  ->  (arcsin `  ( t  /  R
) )  e.  CC )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
(arcsin `  ( t  /  R ) )  e.  CC )
13 1cnd 9677 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
1  e.  CC )
1410sqcld 12452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  CC )
1513, 14subcld 10005 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  CC )
1615sqrtcld 13576 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1710, 16mulcld 9681 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
1812, 17addcld 9680 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( (arcsin `  (
t  /  R ) )  +  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
19 ovex 6336 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R
) )  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) )  e.  _V )
21 rpre 11331 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR )
2221renegcld 10067 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR )
2322rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  -u R  e.  RR* )
24 rpxr 11332 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
25 elioo2 11702 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u R  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  <->  ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
2821adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
298adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  =/=  0 )
3027, 28, 29redivcld 10457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  /  R )  e.  RR )
3130a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( t  /  R )  e.  RR ) )
326mulm1d 10091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1  x.  R )  =  -u R )
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  R )  =  -u R )
3433breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u 1  x.  R
)  <  t  <->  -u R  < 
t ) )
35 neg1rr 10736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  RR
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
37 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  RR+ )
3836, 27, 37ltmuldivd 11408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u 1  x.  R
)  <  t  <->  -u 1  < 
( t  /  R
) ) )
3934, 38bitr3d 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u R  <  t  <->  -u 1  < 
( t  /  R
) ) )
4039biimpd 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( -u R  <  t  ->  -u 1  <  ( t  /  R ) ) )
4140adantrd 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  -u 1  <  (
t  /  R ) ) )
42 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
4327, 42, 37ltdivmuld 11412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
)  <  1  <->  t  <  ( R  x.  1 ) ) )
446mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
4645breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  ( R  x.  1 )  <->  t  <  R ) )
4743, 46bitr2d 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  R  <->  ( t  /  R )  <  1
) )
4847biimpd 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t  <  R  ->  ( t  /  R )  <  1 ) )
4948adantld 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( t  /  R )  <  1
) )
5031, 41, 493jcad 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) ) )
5150exp4b 618 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <  t  -> 
( t  <  R  ->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) ) ) )
52513impd 1247 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  <  R )  -> 
( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) )
5326, 52sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  (
( t  /  R
)  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) ) )
5453imp 436 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R )  /\  ( t  /  R
)  <  1 ) )
5535rexri 9711 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR*
56 1re 9660 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
5756rexri 9711 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
58 elioo2 11702 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( t  /  R )  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( ( t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) ) )
5955, 57, 58mp2an 686 . . . . 5  |-  ( ( t  /  R )  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( (
t  /  R )  e.  RR  /\  -u 1  <  ( t  /  R
)  /\  ( t  /  R )  <  1
) )
6054, 59sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
61 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( 1  /  R )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  _V )
63 elioore 11691 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  u  e.  RR )
6463recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  u  e.  CC )
65 asincl 23878 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  CC  ->  (arcsin `  u )  e.  CC )
66 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  CC  ->  u  e.  CC )
67 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  CC  ->  1  e.  CC )
68 sqcl 12375 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
6967, 68subcld 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
7069sqrtcld 13576 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
7166, 70mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
7265, 71addcld 9680 . . . . . 6  |-  ( u  e.  CC  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
7364, 72syl 17 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
7473adantl 473 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( (arcsin `  u
)  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
75 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
7675a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
77 recn 9647 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC )
7877adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
79 1cnd 9677 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
802dvmptid 22990 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
81 ioossre 11721 . . . . . . 7  |-  ( -u R (,) R )  C_  RR
8281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R (,) R )  C_  RR )
83 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8483tgioo2 21899 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
85 iooretop 21864 . . . . . . 7  |-  ( -u R (,) R )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u R (,) R )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
872, 78, 79, 80, 82, 84, 83, 86dvmptres 22996 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  1 ) )
882, 5, 13, 87, 6, 8dvmptdivc 22998 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( t  /  R ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( 1  /  R ) ) )
8964, 65syl 17 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  u )  e.  CC )
9089adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
(arcsin `  u )  e.  CC )
91 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
9291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
93 dvreasin 32094 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
94 asinf 23877 . . . . . . . . . 10  |- arcsin : CC --> CC
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  -> arcsin : CC --> CC )
96 ioossre 11721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
97 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
9896, 97sstri 3427 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC )
10095, 99feqresmpt 5933 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) )
101100oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) ) )
10293, 101syl5reqr 2520 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
10364, 71syl 17 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
104103adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
105 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  e.  _V
106105a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  e.  _V )
10764adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  u  e.  CC )
108 1cnd 9677 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
1  e.  CC )
109 recn 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  CC )
110109adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  u  e.  CC )
111 1cnd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
1122dvmptid 22990 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  u ) )  =  ( u  e.  RR  |->  1 ) )
11396a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR )
114 iooretop 21864 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
115114a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1162, 110, 111, 112, 113, 84, 83, 115dvmptres 22996 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  u ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  1 ) )
11764, 70syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
118117adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  e.  CC )
119 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
121 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
12263resqcld 12480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
123121, 122resubcld 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  RR )
124 elioo2 11702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( u  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) ) )
12555, 57, 124mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) )
126 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  u  e.  RR )
127 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  1  e.  RR )
128126, 127absltd 13568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  ( -u 1  <  u  /\  u  <  1 ) ) )
129109abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  ( abs `  u )  e.  RR )
130109absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  u
) )
131 0le1 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  0  <_  1 )
133129, 127, 130, 132lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  ( ( abs `  u ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
134 absresq 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( u ^
2 ) )
135 sq1 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
137134, 136breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( ( abs `  u
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( u ^ 2 )  <  1 ) )
138 resqcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  RR )
139138, 127posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( u ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
140133, 137, 1393bitrd 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( abs `  u
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
141128, 140bitr3d 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  u  /\  u  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
142141biimpd 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  u  /\  u  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
1431423impib 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  RR  /\  -u 1  <  u  /\  u  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )
144125, 143sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) )
145123, 144elrpd 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  RR+ )
146145adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  e.  RR+ )
147 negex 9893 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
2  x.  u )  e.  _V
148147a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  -u ( 2  x.  u
)  e.  _V )
149 rpcn 11333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  RR+  ->  v  e.  CC )
150149sqrtcld 13576 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  RR+  ->  ( sqr `  v )  e.  CC )
151150adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  v )  e.  CC )
152 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  e. 
_V
153152a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  e. 
_V )
154 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  1  e.  CC )
155109sqcld 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  RR  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
156154, 155subcld 10005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  RR  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
157156adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
158147a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  -u (
2  x.  u )  e.  _V )
159 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
160 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  1  e.  CC )
1612, 160dvmptc 22991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( u  e.  RR  |->  0 ) )
162155adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
163 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  u )  e. 
_V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  RR )  ->  (
2  x.  u )  e.  _V )
16583cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
166 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
167165, 166mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
168 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
16997, 168mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
i^i  CC )  =  RR
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
i^i  CC )  =  RR )
17168adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  CC )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
172163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  u  e.  CC )  ->  (
2  x.  u )  e.  _V )
173 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
174 dvexp 22986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
175173, 174ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^ (
2  -  1 ) ) ) )
176 2m1e1 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
177176oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( u ^ 1 )
178 exp1 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ 1 )  =  u )
179177, 178syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  CC  ->  (
u ^ ( 2  -  1 ) )  =  u )
180179oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  CC  ->  (
2  x.  ( u ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  u ) )
181180mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( u ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) )
182175, 181eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) )
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( CC 
_D  ( u  e.  CC  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  CC  |->  ( 2  x.  u ) ) )
18483, 2, 167, 170, 171, 172, 183dvmptres3 22989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( u ^
2 ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 2  x.  u ) ) )
1852, 111, 159, 161, 162, 164, 184dvmptsub 23000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  u
) ) ) )
186 df-neg 9883 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
2  x.  u )  =  ( 0  -  ( 2  x.  u
) )
187186mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  RR  |->  -u (
2  x.  u ) )  =  ( u  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  u ) ) )
188185, 187syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  RR  |->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  -u ( 2  x.  u ) ) )
1892, 157, 158, 188, 113, 84, 83, 115dvmptres 22996 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  -u (
2  x.  u ) ) )
190 dvsqrt 23761 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( v  e.  RR+  |->  ( sqr `  v
) ) )  =  ( v  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  v ) ) ) )
191190a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( v  e.  RR+  |->  ( sqr `  v
) ) )  =  ( v  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  v ) ) ) ) )
192 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  v )  =  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
193192oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  v ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
194193oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  v
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
1952, 2, 146, 148, 151, 153, 189, 191, 192, 194dvmptco 23005 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u
) ) ) )
196 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  e.  CC )
197196, 64mulneg2d 10093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  -u u
)  =  -u (
2  x.  u ) )
198197oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  u )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
19964negcld 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u u  e.  CC )
200144gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  =/=  0 )
20164, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
202201adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  e.  CC )
203 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )
204202, 203sqr00d 13580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( u ^ 2 ) )  =  0 )
205204ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  =  0 ) )
206205necon3d 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  -  (
u ^ 2 ) )  =/=  0  -> 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
207200, 206mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
208 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
209208a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  =/=  0 )
210199, 117, 196, 207, 209divcan5d 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
211196, 64mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  u )  e.  CC )
212211negcld 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
2  x.  u )  e.  CC )
213196, 117mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
214196, 117, 209, 207mulne0d 10286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
215212, 213, 214divrec2d 10409 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( 2  x.  u
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  u ) ) )
216198, 210, 2153eqtr3rd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u ) )  =  ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
217216mpteq2ia 4478 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  u
) ) )  =  ( u  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
218195, 217syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
2192, 107, 108, 116, 118, 120, 218dvmptmul 22994 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) )
2202, 90, 92, 102, 104, 106, 219dvmptadd 22993 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( (arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) ) )
221117mulid2d 9679 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )
222199, 117, 207divcld 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
223222, 64mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u )  =  ( u  x.  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
22464, 199, 117, 207divassd 10440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( u  x.  -u u
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( u  x.  ( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
22564, 64mulneg2d 10093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  -u u
)  =  -u (
u  x.  u ) )
22664sqvald 12451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  =  ( u  x.  u ) )
227226negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
u ^ 2 )  =  -u ( u  x.  u ) )
228225, 227eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u  x.  -u u
)  =  -u (
u ^ 2 ) )
229228oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( u  x.  -u u
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
230223, 224, 2293eqtr2d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u u  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u )  =  ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
231221, 230oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) )
23264sqcld 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
u ^ 2 )  e.  CC )
233232negcld 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
u ^ 2 )  e.  CC )
234233, 117, 207divcld 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
235117, 234addcomd 9853 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
236231, 235eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) )  =  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) )
237236oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) ) )
2381172timesd 10878 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )
23967, 68negsubd 10011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )
24069sqsqrtd 13578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )
24170sqvald 12451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
242239, 240, 2413eqtr2d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  CC  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
24364, 242syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  +  -u (
u ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
244243oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  +  -u ( u ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
245 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  CC )
246245, 233, 117, 207divdird 10443 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  +  -u ( u ^ 2 ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
247117, 117, 207divcan3d 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) )
248244, 246, 2473eqtr3rd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) )
250117, 207reccld 10398 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
251250, 234, 117addassd 9683 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  (
-u ( u ^
2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^
2 ) ) ) ) ) )
252238, 249, 2513eqtrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u ( u ^ 2 )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
253237, 252eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
254253mpteq2ia 4478 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( -u u  / 
( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) )  x.  u
) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )
255220, 254syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( u  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( (arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
256 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (arcsin `  u )  =  (arcsin `  ( t  /  R
) ) )
257 id 22 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  u  =  ( t  /  R ) )
258 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
u ^ 2 )  =  ( ( t  /  R ) ^
2 ) )
259258oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
1  -  ( u ^ 2 ) )  =  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )
260259fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( u ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
261257, 260oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
u  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
262256, 261oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
(arcsin `  u )  +  ( u  x.  ( sqr `  (
1  -  ( u ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( (arcsin `  (
t  /  R ) )  +  ( ( t  /  R )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
263260oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( u  =  ( t  /  R )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
u ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
2642, 2, 60, 62, 74, 76, 88, 255, 262, 263dvmptco 23005 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) ) )
2656sqcld 12452 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
2662, 18, 20, 264, 265dvmptcmul 22997 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) ) ) ) )
267 2cnd 10704 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
2  e.  CC )
268267, 16mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
2696, 8reccld 10398 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 1  /  R )  e.  CC )
270269adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  CC )
271268, 270mulcomd 9682 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
272271oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
273265adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  CC )
274273, 270, 268mulassd 9684 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 1  /  R )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
2756sqvald 12451 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =  ( R  x.  R
) )
276275oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  /  R )  =  ( ( R  x.  R )  /  R
) )
277265, 6, 8divrecd 10408 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  /  R )  =  ( ( R ^
2 )  x.  (
1  /  R ) ) )
2786, 6, 8divcan3d 10410 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R  x.  R )  /  R )  =  R )
279276, 277, 2783eqtr3d 2513 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R ) )  =  R )
280279adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  /  R ) )  =  R )
281280oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( R  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2827, 267, 16mul12d 9860 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
28321resqcld 12480 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR )
284283adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  e.  RR )
28521sqge0d 12481 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
( R ^ 2 ) )
286285adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <_  ( R ^ 2 ) )
287 1red 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
1  e.  RR )
2883adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
t  e.  RR )
28921adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  ->  R  e.  RR )
290288, 289, 9redivcld 10457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t  /  R
)  e.  RR )
291290resqcld 12480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  e.  RR )
292287, 291resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  e.  RR )
293 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  e.  RR )
29427, 28absltd 13568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  ( -u R  <  t  /\  t  < 
R ) ) )
29577abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
296295adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  t )  e.  RR )
29777absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
298297adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  t
) )
299 rpge0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_  R )
300299adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  R )
301296, 28, 298, 300lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  ( ( abs `  t ) ^
2 )  <  ( R ^ 2 ) ) )
302 absresq 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
303302adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
) ^ 2 )  =  ( t ^
2 ) )
304265adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  CC )
305304mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( R ^ 2 )  x.  1 )  =  ( R ^
2 ) )
306305eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  =  ( ( R ^
2 )  x.  1 ) )
307303, 306breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  t
) ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  ( t ^ 2 )  < 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
3086adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
30978, 308, 29sqdivd 12467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) )
310309breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <  1  <->  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <  1 ) )
31130resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t  /  R
) ^ 2 )  e.  RR )
312311, 42posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t  /  R ) ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
313 resqcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  RR  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
314313adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
t ^ 2 )  e.  RR )
315 rpgt0 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
316 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
317 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  <_  0
318317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  <_ 
0 )
319316, 21, 318, 299lt2sqd 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  ( 0 ^ 2 )  < 
( R ^ 2 ) ) )
320 sq0 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
321320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0 ^ 2 )  =  0 )
322321breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <  ( R ^
2 )  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
323319, 322bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( 0  <  R  <->  0  <  ( R ^ 2 ) ) )
324315, 323mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
( R ^ 2 ) )
325283, 324elrpd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
326325adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  ( R ^ 2 )  e.  RR+ )
327314, 42, 326ltdivmuld 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( ( t ^
2 )  /  ( R ^ 2 ) )  <  1  <->  ( t ^ 2 )  < 
( ( R ^
2 )  x.  1 ) ) )
328310, 312, 3273bitr3rd 292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( t ^ 2 )  <  ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
329301, 307, 3283bitrd 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( abs `  t
)  <  R  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
330294, 329bitr3d 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  <->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
331330biimpd 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  RR )  ->  (
( -u R  <  t  /\  t  <  R )  ->  0  <  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
332331exp4b 618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  RR  ->  ( -u R  <  t  -> 
( t  <  R  ->  0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) ) ) )
3333323impd 1247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( t  e.  RR  /\  -u R  <  t  /\  t  <  R )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )
33426, 333sylbid 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  0  <  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) )
335334imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
336293, 292, 335ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
0  <_  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) )
337284, 286, 292, 336sqrtmuld 13563 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) ) )
338273, 13, 14subdid 10095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )
339273mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  1 )  =  ( R ^ 2 ) )
3405, 7, 9sqdivd 12467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( t  /  R ) ^ 2 )  =  ( ( t ^ 2 )  /  ( R ^
2 ) ) )
341340oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( t ^ 2 )  / 
( R ^ 2 ) ) ) )
3424sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( -u R (,) R )  ->  (
t ^ 2 )  e.  CC )
343342adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( t ^ 2 )  e.  CC )
344 sqne0 12379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  CC  ->  (
( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
3456, 344syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( ( R ^ 2 )  =/=  0  <->  R  =/=  0 ) )
3468, 345mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R ^ 2 )  =/=  0 )
347346adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R ^ 2 )  =/=  0 )
348343, 273, 347divcan2d 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t ^ 2 )  /  ( R ^ 2 ) ) )  =  ( t ^ 2 ) )
349341, 348eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( t  /  R
) ^ 2 ) )  =  ( t ^ 2 ) )
350339, 349oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  1 )  -  (
( R ^ 2 )  x.  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
351338, 350eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( R ^ 2 )  -  ( t ^
2 ) ) )
352351fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  (
( R ^ 2 )  x.  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^
2 ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( R ^
2 )  -  (
t ^ 2 ) ) ) )
35321, 299sqrtsqd 13558 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
354353adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( sqr `  ( R ^ 2 ) )  =  R )
355354oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( sqr `  ( R ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )
356337, 352, 3553eqtr3rd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) )
357356oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( 2  x.  ( R  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
358281, 282, 3573eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( ( R ^ 2 )  x.  ( 1  /  R
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
359272, 274, 3583eqtr2d 2511 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  t  e.  ( -u R (,) R ) )  -> 
( ( R ^
2 )  x.  (
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( 1  /  R ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) )
360359mpteq2dva 4482 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( ( t  /  R ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
1  /  R ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
361266, 360eqtrd 2505 1  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( RR 
_D  ( t  e.  ( -u R (,) R )  |->  ( ( R ^ 2 )  x.  ( (arcsin `  ( t  /  R
) )  +  ( ( t  /  R
)  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
( t  /  R
) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  (
-u R (,) R
)  |->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( R ^ 2 )  -  ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   abscabs 13374   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047  TopOnctopon 19995    _D cdv 22897  arcsincasin 23867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-asin 23870
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