Theorem areacirclem1 28625

Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
areacirclem1	|- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   t, R

Proof of Theorem areacirclem1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 9478	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( R e. RR+ -> RR e. { RR , CC } )
3		elioore 11434	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. RR )
4	3	recnd 9516	. . . . . . 7 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. CC )
5	4	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. CC )
6		rpcn 11103	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R e. CC )
7	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. CC )
8		rpne0 11110	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R =/= 0 )
9	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R =/= 0 )
10	5, 7, 9	divcld 10211	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. CC )
11		asincl 22394	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. CC -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
13		ax-1cn 9444	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. CC )
15	10	sqcld 12116	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. CC )
16	14, 15	subcld 9823	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. CC )
17	16	sqrcld 13034	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
18	10, 17	mulcld 9510	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
19	12, 18	addcld 9509	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
20		ovex 6218	. . . 4 |- ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) e. _V
21	20	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) e. _V )
22		rpre 11101	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
23	22	renegcld 9879	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR )
24	23	rexrd 9537	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR* )
25		rpxr 11102	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
26		elioo2 11445	. . . . . . . 8 |- ( ( -u R e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. RR )
29	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR )
30	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R =/= 0 )
31	28, 29, 30	redivcld 10263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t / R ) e. RR )
32	31	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) e. RR ) )
33	6	mulm1d 9900	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
35	34	breq1d 4403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u R < t ) )
36		neg1rr 10530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 e. RR
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> -u 1 e. RR )
38		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR+ )
39	37, 28, 38	ltmuldivd 11174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
40	35, 39	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
41	40	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t -> -u 1 < ( t / R ) ) )
42	41	adantrd 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> -u 1 < ( t / R ) ) )
43		1re 9489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
45	28, 44, 38	ltdivmuld 11178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) < 1 <-> t < ( R x. 1 ) ) )
46	6	mulid1d 9507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( R x. 1 ) = R )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R x. 1 ) = R )
48	47	breq2d 4405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < ( R x. 1 ) <-> t < R ) )
49	45, 48	bitr2d 254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R <-> ( t / R ) < 1 ) )
50	49	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R -> ( t / R ) < 1 ) )
51	50	adantld 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) < 1 ) )
52	32, 42, 51	3jcad 1169	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
53	52	exp4b 607	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) ) ) )
54	53	3impd 1202	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
55	27, 54	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
56	55	imp 429	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
57	36	rexri 9540	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR*
58	43	rexri 9540	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
59		elioo2 11445	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
60	57, 58, 59	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
61	56, 60	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
62		ovex 6218	. . . . 5 |- ( 1 / R ) e. _V
63	62	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. _V )
64		elioore 11434	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. RR )
65	64	recnd 9516	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. CC )
66		asincl 22394	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> (arcsin ` u ) e. CC )
67		id 22	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> u e. CC )
68	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> 1 e. CC )
69		sqcl 12038	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> ( u ^ 2 ) e. CC )
70	68, 69	subcld 9823	. . . . . . . . 9 |- ( u e. CC -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
71	70	sqrcld 13034	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
72	67, 71	mulcld 9510	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
73	66, 72	addcld 9509	. . . . . 6 |- ( u e. CC -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
74	65, 73	syl 16	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
75	74	adantl 466	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
76		ovex 6218	. . . . 5 |- ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
77	76	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
78		recn 9476	. . . . . . 7 |- ( t e. RR -> t e. CC )
79	78	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. CC )
80	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
81	2	dvmptid 21557	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
82		ioossre 11461	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) C_ RR
83	82	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) C_ RR )
84		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
85	84	tgioo2 20505	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
86		iooretop 20470	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) )
87	86	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
88	2, 79, 80, 81, 83, 85, 84, 87	dvmptres 21563	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> t ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> 1 ) )
89	2, 5, 14, 88, 6, 8	dvmptdivc 21565	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( t / R ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 1 / R ) ) )
90	65, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
91	90	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
92		ovex 6218	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
94		dvreasin 28623	. . . . . . 7 |- ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
95		asinf 22393	. . . . . . . . . 10 |- arcsin : CC --> CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> arcsin : CC --> CC )
97		ioossre 11461	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR
98		ax-resscn 9443	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
99	97, 98	sstri 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC
100	99	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC )
101	96, 100	feqresmpt 5847	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) )
102	101	oveq2d 6209	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) )
103	94, 102	syl5reqr 2507	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
104	65, 72	syl 16	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
105	104	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
106		ovex 6218	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) e. _V )
108	65	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> u e. CC )
109	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
110		recn 9476	. . . . . . . . 9 |- ( u e. RR -> u e. CC )
111	110	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> u e. CC )
112	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 1 e. CC )
113	2	dvmptid 21557	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> u ) ) = ( u e. RR |-> 1 ) )
114	97	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR )
115		iooretop 20470	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
117	2, 111, 112, 113, 114, 85, 84, 116	dvmptres 21563	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> u ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> 1 ) )
118	65, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
119	118	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
120		ovex 6218	. . . . . . . 8 |- ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
122	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. RR )
123	64	resqcld 12144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
124	122, 123	resubcld 9880	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR )
125		elioo2 11445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
126	57, 58, 125	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) )
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> u e. RR )
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> 1 e. RR )
129	127, 128	absltd 13027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
130	110	abscld 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR )
131	110	absge0d 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) )
132		0le1 9967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ 1 )
134	130, 128, 131, 133	lt2sqd 12152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) ) )
135		absresq 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
136		sq1 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
138	135, 137	breq12d 4406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) < 1 ) )
139		resqcl 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR )
140	139, 128	posdifd 10030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( u ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
141	134, 138, 140	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
142	129, 141	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
143	142	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
144	143	3impib 1186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
145	126, 144	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
146	124, 145	elrpd 11129	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
147	146	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
148		negex 9712	. . . . . . . . . 10 |- -u ( 2 x. u ) e. _V
149	148	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
150		rpcn 11103	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. RR+ -> v e. CC )
151	150	sqrcld 13034	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR+ -> ( sqr ` v ) e. CC )
152	151	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( sqr ` v ) e. CC )
153		ovex 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) e. _V
154	153	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) e. _V )
155	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> 1 e. CC )
156	110	sqcld 12116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. CC )
157	155, 156	subcld 9823	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
158	157	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
159	148	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
160		0re 9490	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 0 e. RR )
162	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> 1 e. CC )
163	2, 162	dvmptc 21558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> 1 ) ) = ( u e. RR |-> 0 ) )
164	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
165		ovex 6218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. u ) e. _V
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
167	84	cnfldtopon 20487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
168		toponmax 18658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
169	167, 168	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
170		df-ss 3443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC <-> ( RR i^i CC ) = RR )
171	98, 170	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR i^i CC ) = RR
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( RR i^i CC ) = RR )
173	69	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
174	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
175		2nn 10583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
176		dvexp 21553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. NN -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) )
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) )
178		2m1e1 10540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 - 1 ) = 1
179	178	oveq2i 6204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = ( u ^ 1 )
180		exp1 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. CC -> ( u ^ 1 ) = u )
181	179, 180	syl5eq 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. CC -> ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = u )
182	181	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. CC -> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) = ( 2 x. u ) )
183	182	mpteq2ia 4475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
184	177, 183	eqtri 2480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) ) )
186	84, 2, 169, 172, 173, 174, 185	dvmptres3 21556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 2 x. u ) ) )
187	2, 112, 161, 163, 164, 166, 186	dvmptsub 21567	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) ) )
188		df-neg 9702	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 2 x. u ) = ( 0 - ( 2 x. u ) )
189	188	mpteq2i 4476	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) )
190	187, 189	syl6eqr 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) )
191	2, 158, 159, 190, 114, 85, 84, 116	dvmptres 21563	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> -u ( 2 x. u ) ) )
192		dvsqr 22308	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) )
193	192	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) ) )
194		fveq2 5792	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( sqr ` v ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
195	194	oveq2d 6209	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` v ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
196	195	oveq2d 6209	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
197	2, 2, 147, 149, 152, 154, 191, 193, 194, 196	dvmptco 21572	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) )
198		2cnd 10498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 e. CC )
199	198, 65	mulneg2d 9902	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. -u u ) = -u ( 2 x. u ) )
200	199	oveq1d 6208	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
201	65	negcld 9810	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u u e. CC )
202	145	gt0ne0d 10008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 )
203	65, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
204	203	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
205		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 )
206	204, 205	sqr00d 13038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 )
207	206	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 ) )
208	207	necon3d 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) )
209	202, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 )
210		2ne0 10518	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 =/= 0 )
212	201, 118, 198, 209, 211	divcan5d 10237	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
213	198, 65	mulcld 9510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. u ) e. CC )
214	213	negcld 9810	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( 2 x. u ) e. CC )
215	198, 118	mulcld 9510	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
216	198, 118, 211, 209	mulne0d 10092	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
217	214, 215, 216	divrec2d 10215	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) )
218	200, 212, 217	3eqtr3rd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
219	218	mpteq2ia 4475	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
220	197, 219	syl6eq 2508	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
221	2, 108, 109, 117, 119, 121, 220	dvmptmul 21561	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) )
222	2, 91, 93, 103, 105, 107, 221	dvmptadd 21560	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) )
223	118	mulid2d 9508	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
224	201, 118, 209	divcld 10211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
225	224, 65	mulcomd 9511	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
226	65, 201, 118, 209	divassd 10246	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
227	65, 65	mulneg2d 9902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u x. u ) )
228	65	sqvald 12115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) = ( u x. u ) )
229	228	negeqd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) = -u ( u x. u ) )
230	227, 229	eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u ^ 2 ) )
231	230	oveq1d 6208	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
232	225, 226, 231	3eqtr2d 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
233	223, 232	oveq12d 6211	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
234	65	sqcld 12116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
235	234	negcld 9810	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) e. CC )
236	235, 118, 209	divcld 10211	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
237	118, 236	addcomd 9675	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
238	233, 237	eqtrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
239	238	oveq2d 6209	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
240	118	2timesd 10671	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
241	68, 69	negsubd 9829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
242	70	sqsqrd 13036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
243	71	sqvald 12115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
244	241, 242, 243	3eqtr2d 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
245	65, 244	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
246	245	oveq1d 6208	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
247	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. CC )
248	247, 235, 118, 209	divdird 10249	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
249	118, 118, 209	divcan3d 10216	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
250	246, 248, 249	3eqtr3rd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
251	250	oveq1d 6208	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
252	118, 209	reccld 10204	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
253	252, 236, 118	addassd 9512	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
254	240, 251, 253	3eqtrrd 2497	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
255	239, 254	eqtrd 2492	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
256	255	mpteq2ia 4475	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
257	222, 256	syl6eq 2508	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
258		fveq2 5792	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> (arcsin ` u ) = (arcsin ` ( t / R ) ) )
259		id 22	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> u = ( t / R ) )
260		oveq1 6200	. . . . . . . 8 |- ( u = ( t / R ) -> ( u ^ 2 ) = ( ( t / R ) ^ 2 ) )
261	260	oveq2d 6209	. . . . . . 7 |- ( u = ( t / R ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
262	261	fveq2d 5796	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
263	259, 262	oveq12d 6211	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
264	258, 263	oveq12d 6211	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
265	262	oveq2d 6209	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
266	2, 2, 61, 63, 75, 77, 89, 257, 264, 265	dvmptco 21572	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) )
267	6	sqcld 12116	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. CC )
268	2, 19, 21, 266, 267	dvmptcmul 21564	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) )
269		2cnd 10498	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 2 e. CC )
270	269, 17	mulcld 9510	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
271	6, 8	reccld 10204	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( 1 / R ) e. CC )
272	271	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. CC )
273	270, 272	mulcomd 9511	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) = ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
274	273	oveq2d 6209	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
275	267	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
276	275, 272, 270	mulassd 9513	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
277	6	sqvald 12115	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) = ( R x. R ) )
278	277	oveq1d 6208	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R x. R ) / R ) )
279	267, 6, 8	divrecd 10214	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) )
280	6, 6, 8	divcan3d 10216	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R x. R ) / R ) = R )
281	278, 279, 280	3eqtr3d 2500	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
282	281	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
283	282	oveq1d 6208	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
284	7, 269, 17	mul12d 9682	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
285	22	resqcld 12144	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR )
286	285	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
287	22	sqge0d 12145	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
288	287	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
289	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. RR )
290	3	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. RR )
291	22	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. RR )
292	290, 291, 9	redivcld 10263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. RR )
293	292	resqcld 12144	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
294	289, 293	resubcld 9880	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. RR )
295	160	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 e. RR )
296	28, 29	absltd 13027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( -u R < t /\ t < R ) ) )
297	78	abscld 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR )
298	297	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR )
299	78	absge0d 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) )
300	299	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) )
301		rpge0 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
302	301	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ R )
303	298, 29, 300, 302	lt2sqd 12152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
304		absresq 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
305	304	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
306	267	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
307	306	mulid1d 9507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
308	307	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) )
309	305, 308	breq12d 4406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
310	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. CC )
311	79, 310, 30	sqdivd 12131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
312	311	breq1d 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 ) )
313	31	resqcld 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
314	313, 44	posdifd 10030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
315		resqcl 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
316	315	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
317		rpgt0 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
318	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 e. RR )
319		0le0 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 <_ 0
320	319	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ 0 )
321	318, 22, 320, 301	lt2sqd 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
322		sq0 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
323	322	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> ( 0 ^ 2 ) = 0 )
324	323	breq1d 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
325	321, 324	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
326	317, 325	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. RR+ -> 0 < ( R ^ 2 ) )
327	285, 326	elrpd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
328	327	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
329	316, 44, 328	ltdivmuld 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
330	312, 314, 329	3bitr3rd 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
331	303, 309, 330	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
332	296, 331	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
333	332	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
334	333	exp4b 607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
335	334	3impd 1202	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
336	27, 335	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
337	336	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
338	295, 294, 337	ltled 9626	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
339	286, 288, 294, 338	sqrmuld 13022	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
340	275, 14, 15	subdid 9904	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
341	275	mulid1d 9507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
342	5, 7, 9	sqdivd 12131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
343	342	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) )
344	4	sqcld 12116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
345	344	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
346		sqne0 12042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. CC -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
347	6, 346	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
348	8, 347	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
349	348	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
350	345, 275, 349	divcan2d 10213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) = ( t ^ 2 ) )
351	343, 350	eqtrd 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( t ^ 2 ) )
352	341, 351	oveq12d 6211	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
353	340, 352	eqtrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
354	353	fveq2d 5796	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
355	22, 301	sqrsqd 13017	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
356	355	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
357	356	oveq1d 6208	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
358	339, 354, 357	3eqtr3rd 2501	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
359	358	oveq2d 6209	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
360	283, 284, 359	3eqtrd 2496	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
361	274, 276, 360	3eqtr2d 2498	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
362	361	mpteq2dva 4479	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
363	268, 362	eqtrd 2492	1 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   _Vcvv 3071   i^i cin 3428   C_ wss 3429   {cpr 3980   class class class wbr 4393   |-> cmpt 4451   ran crn 4942   |` cres 4943   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   RR*cxr 9521   < clt 9522   <_ cle 9523   - cmin 9699   -ucneg 9700   / cdiv 10097   NNcn 10426   2c2 10475   RR+crp 11095   (,)cioo 11404   ^cexp 11975   sqrcsqr 12833   abscabs 12834   TopOpenctopn 14471   topGenctg 14487  ℂ_fldccnfld 17936  TopOnctopon 18624   _D cdv 21464  arcsincasin 22383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-tan 13468  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-cxp 22135  df-asin 22386

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