Theorem areacirclem1 29684

Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
areacirclem1	|- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   t, R

Proof of Theorem areacirclem1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 9580	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( R e. RR+ -> RR e. { RR , CC } )
3		elioore 11555	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. RR )
4	3	recnd 9618	. . . . . . 7 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. CC )
5	4	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. CC )
6		rpcn 11224	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R e. CC )
7	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. CC )
8		rpne0 11231	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R =/= 0 )
9	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R =/= 0 )
10	5, 7, 9	divcld 10316	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. CC )
11		asincl 22932	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. CC -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
13		ax-1cn 9546	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. CC )
15	10	sqcld 12272	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. CC )
16	14, 15	subcld 9926	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. CC )
17	16	sqrtcld 13227	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
18	10, 17	mulcld 9612	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
19	12, 18	addcld 9611	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
20		ovex 6307	. . . 4 |- ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) e. _V
21	20	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) e. _V )
22		rpre 11222	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
23	22	renegcld 9982	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR )
24	23	rexrd 9639	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR* )
25		rpxr 11223	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
26		elioo2 11566	. . . . . . . 8 |- ( ( -u R e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. RR )
29	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR )
30	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R =/= 0 )
31	28, 29, 30	redivcld 10368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t / R ) e. RR )
32	31	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) e. RR ) )
33	6	mulm1d 10004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
35	34	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u R < t ) )
36		neg1rr 10636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 e. RR
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> -u 1 e. RR )
38		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR+ )
39	37, 28, 38	ltmuldivd 11295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
40	35, 39	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
41	40	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t -> -u 1 < ( t / R ) ) )
42	41	adantrd 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> -u 1 < ( t / R ) ) )
43		1re 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
45	28, 44, 38	ltdivmuld 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) < 1 <-> t < ( R x. 1 ) ) )
46	6	mulid1d 9609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( R x. 1 ) = R )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R x. 1 ) = R )
48	47	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < ( R x. 1 ) <-> t < R ) )
49	45, 48	bitr2d 254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R <-> ( t / R ) < 1 ) )
50	49	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R -> ( t / R ) < 1 ) )
51	50	adantld 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) < 1 ) )
52	32, 42, 51	3jcad 1177	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
53	52	exp4b 607	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) ) ) )
54	53	3impd 1210	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
55	27, 54	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
56	55	imp 429	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
57	36	rexri 9642	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR*
58	43	rexri 9642	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
59		elioo2 11566	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
60	57, 58, 59	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
61	56, 60	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
62		ovex 6307	. . . . 5 |- ( 1 / R ) e. _V
63	62	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. _V )
64		elioore 11555	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. RR )
65	64	recnd 9618	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. CC )
66		asincl 22932	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> (arcsin ` u ) e. CC )
67		id 22	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> u e. CC )
68	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> 1 e. CC )
69		sqcl 12194	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> ( u ^ 2 ) e. CC )
70	68, 69	subcld 9926	. . . . . . . . 9 |- ( u e. CC -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
71	70	sqrtcld 13227	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
72	67, 71	mulcld 9612	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
73	66, 72	addcld 9611	. . . . . 6 |- ( u e. CC -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
74	65, 73	syl 16	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
75	74	adantl 466	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
76		ovex 6307	. . . . 5 |- ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
77	76	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
78		recn 9578	. . . . . . 7 |- ( t e. RR -> t e. CC )
79	78	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. CC )
80	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
81	2	dvmptid 22095	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
82		ioossre 11582	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) C_ RR
83	82	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) C_ RR )
84		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
85	84	tgioo2 21043	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
86		iooretop 21008	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) )
87	86	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
88	2, 79, 80, 81, 83, 85, 84, 87	dvmptres 22101	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> t ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> 1 ) )
89	2, 5, 14, 88, 6, 8	dvmptdivc 22103	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( t / R ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 1 / R ) ) )
90	65, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
91	90	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
92		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
94		dvreasin 29682	. . . . . . 7 |- ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
95		asinf 22931	. . . . . . . . . 10 |- arcsin : CC --> CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> arcsin : CC --> CC )
97		ioossre 11582	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR
98		ax-resscn 9545	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
99	97, 98	sstri 3513	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC
100	99	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC )
101	96, 100	feqresmpt 5919	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) )
102	101	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) )
103	94, 102	syl5reqr 2523	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
104	65, 72	syl 16	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
105	104	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
106		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) e. _V )
108	65	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> u e. CC )
109	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
110		recn 9578	. . . . . . . . 9 |- ( u e. RR -> u e. CC )
111	110	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> u e. CC )
112	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 1 e. CC )
113	2	dvmptid 22095	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> u ) ) = ( u e. RR |-> 1 ) )
114	97	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR )
115		iooretop 21008	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
117	2, 111, 112, 113, 114, 85, 84, 116	dvmptres 22101	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> u ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> 1 ) )
118	65, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
119	118	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
120		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
122	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. RR )
123	64	resqcld 12300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
124	122, 123	resubcld 9983	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR )
125		elioo2 11566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
126	57, 58, 125	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) )
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> u e. RR )
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> 1 e. RR )
129	127, 128	absltd 13220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
130	110	abscld 13226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR )
131	110	absge0d 13234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) )
132		0le1 10072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ 1 )
134	130, 128, 131, 133	lt2sqd 12308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) ) )
135		absresq 13094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
136		sq1 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
138	135, 137	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) < 1 ) )
139		resqcl 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR )
140	139, 128	posdifd 10135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( u ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
141	134, 138, 140	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
142	129, 141	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
143	142	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
144	143	3impib 1194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
145	126, 144	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
146	124, 145	elrpd 11250	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
147	146	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
148		negex 9814	. . . . . . . . . 10 |- -u ( 2 x. u ) e. _V
149	148	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
150		rpcn 11224	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. RR+ -> v e. CC )
151	150	sqrtcld 13227	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR+ -> ( sqr ` v ) e. CC )
152	151	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( sqr ` v ) e. CC )
153		ovex 6307	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) e. _V
154	153	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) e. _V )
155	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> 1 e. CC )
156	110	sqcld 12272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. CC )
157	155, 156	subcld 9926	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
158	157	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
159	148	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
160		0re 9592	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 0 e. RR )
162	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> 1 e. CC )
163	2, 162	dvmptc 22096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> 1 ) ) = ( u e. RR |-> 0 ) )
164	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
165		ovex 6307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. u ) e. _V
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
167	84	cnfldtopon 21025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
168		toponmax 19196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
169	167, 168	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
170		df-ss 3490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC <-> ( RR i^i CC ) = RR )
171	98, 170	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR i^i CC ) = RR
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( RR i^i CC ) = RR )
173	69	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
174	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
175		2nn 10689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
176		dvexp 22091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. NN -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) )
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) )
178		2m1e1 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 - 1 ) = 1
179	178	oveq2i 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = ( u ^ 1 )
180		exp1 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. CC -> ( u ^ 1 ) = u )
181	179, 180	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. CC -> ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = u )
182	181	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. CC -> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) = ( 2 x. u ) )
183	182	mpteq2ia 4529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
184	177, 183	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) ) )
186	84, 2, 169, 172, 173, 174, 185	dvmptres3 22094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 2 x. u ) ) )
187	2, 112, 161, 163, 164, 166, 186	dvmptsub 22105	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) ) )
188		df-neg 9804	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 2 x. u ) = ( 0 - ( 2 x. u ) )
189	188	mpteq2i 4530	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) )
190	187, 189	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) )
191	2, 158, 159, 190, 114, 85, 84, 116	dvmptres 22101	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> -u ( 2 x. u ) ) )
192		dvsqrt 22846	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) )
193	192	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) ) )
194		fveq2 5864	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( sqr ` v ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
195	194	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` v ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
196	195	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
197	2, 2, 147, 149, 152, 154, 191, 193, 194, 196	dvmptco 22110	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) )
198		2cnd 10604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 e. CC )
199	198, 65	mulneg2d 10006	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. -u u ) = -u ( 2 x. u ) )
200	199	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
201	65	negcld 9913	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u u e. CC )
202	145	gt0ne0d 10113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 )
203	65, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
204	203	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
205		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 )
206	204, 205	sqr00d 13231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 )
207	206	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 ) )
208	207	necon3d 2691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) )
209	202, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 )
210		2ne0 10624	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 =/= 0 )
212	201, 118, 198, 209, 211	divcan5d 10342	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
213	198, 65	mulcld 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. u ) e. CC )
214	213	negcld 9913	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( 2 x. u ) e. CC )
215	198, 118	mulcld 9612	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
216	198, 118, 211, 209	mulne0d 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
217	214, 215, 216	divrec2d 10320	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) )
218	200, 212, 217	3eqtr3rd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
219	218	mpteq2ia 4529	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
220	197, 219	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
221	2, 108, 109, 117, 119, 121, 220	dvmptmul 22099	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) )
222	2, 91, 93, 103, 105, 107, 221	dvmptadd 22098	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) )
223	118	mulid2d 9610	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
224	201, 118, 209	divcld 10316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
225	224, 65	mulcomd 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
226	65, 201, 118, 209	divassd 10351	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
227	65, 65	mulneg2d 10006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u x. u ) )
228	65	sqvald 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) = ( u x. u ) )
229	228	negeqd 9810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) = -u ( u x. u ) )
230	227, 229	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u ^ 2 ) )
231	230	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
232	225, 226, 231	3eqtr2d 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
233	223, 232	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
234	65	sqcld 12272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
235	234	negcld 9913	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) e. CC )
236	235, 118, 209	divcld 10316	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
237	118, 236	addcomd 9777	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
238	233, 237	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
239	238	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
240	118	2timesd 10777	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
241	68, 69	negsubd 9932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
242	70	sqsqrtd 13229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
243	71	sqvald 12271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
244	241, 242, 243	3eqtr2d 2514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
245	65, 244	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
246	245	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
247	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. CC )
248	247, 235, 118, 209	divdird 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
249	118, 118, 209	divcan3d 10321	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
250	246, 248, 249	3eqtr3rd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
251	250	oveq1d 6297	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
252	118, 209	reccld 10309	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
253	252, 236, 118	addassd 9614	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
254	240, 251, 253	3eqtrrd 2513	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
255	239, 254	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
256	255	mpteq2ia 4529	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
257	222, 256	syl6eq 2524	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
258		fveq2 5864	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> (arcsin ` u ) = (arcsin ` ( t / R ) ) )
259		id 22	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> u = ( t / R ) )
260		oveq1 6289	. . . . . . . 8 |- ( u = ( t / R ) -> ( u ^ 2 ) = ( ( t / R ) ^ 2 ) )
261	260	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( u = ( t / R ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
262	261	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
263	259, 262	oveq12d 6300	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
264	258, 263	oveq12d 6300	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
265	262	oveq2d 6298	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
266	2, 2, 61, 63, 75, 77, 89, 257, 264, 265	dvmptco 22110	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) )
267	6	sqcld 12272	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. CC )
268	2, 19, 21, 266, 267	dvmptcmul 22102	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) )
269		2cnd 10604	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 2 e. CC )
270	269, 17	mulcld 9612	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
271	6, 8	reccld 10309	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( 1 / R ) e. CC )
272	271	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. CC )
273	270, 272	mulcomd 9613	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) = ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
274	273	oveq2d 6298	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
275	267	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
276	275, 272, 270	mulassd 9615	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
277	6	sqvald 12271	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) = ( R x. R ) )
278	277	oveq1d 6297	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R x. R ) / R ) )
279	267, 6, 8	divrecd 10319	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) )
280	6, 6, 8	divcan3d 10321	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R x. R ) / R ) = R )
281	278, 279, 280	3eqtr3d 2516	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
282	281	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
283	282	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
284	7, 269, 17	mul12d 9784	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
285	22	resqcld 12300	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR )
286	285	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
287	22	sqge0d 12301	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
288	287	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
289	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. RR )
290	3	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. RR )
291	22	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. RR )
292	290, 291, 9	redivcld 10368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. RR )
293	292	resqcld 12300	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
294	289, 293	resubcld 9983	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. RR )
295	160	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 e. RR )
296	28, 29	absltd 13220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( -u R < t /\ t < R ) ) )
297	78	abscld 13226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR )
298	297	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR )
299	78	absge0d 13234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) )
300	299	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) )
301		rpge0 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
302	301	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ R )
303	298, 29, 300, 302	lt2sqd 12308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
304		absresq 13094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
305	304	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
306	267	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
307	306	mulid1d 9609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
308	307	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) )
309	305, 308	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
310	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. CC )
311	79, 310, 30	sqdivd 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
312	311	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 ) )
313	31	resqcld 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
314	313, 44	posdifd 10135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
315		resqcl 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
316	315	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
317		rpgt0 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
318	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 e. RR )
319		0le0 10621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 <_ 0
320	319	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ 0 )
321	318, 22, 320, 301	lt2sqd 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
322		sq0 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
323	322	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> ( 0 ^ 2 ) = 0 )
324	323	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
325	321, 324	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
326	317, 325	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. RR+ -> 0 < ( R ^ 2 ) )
327	285, 326	elrpd 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
328	327	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
329	316, 44, 328	ltdivmuld 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
330	312, 314, 329	3bitr3rd 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
331	303, 309, 330	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
332	296, 331	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
333	332	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
334	333	exp4b 607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
335	334	3impd 1210	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
336	27, 335	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
337	336	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
338	295, 294, 337	ltled 9728	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
339	286, 288, 294, 338	sqrtmuld 13215	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
340	275, 14, 15	subdid 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
341	275	mulid1d 9609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
342	5, 7, 9	sqdivd 12287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
343	342	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) )
344	4	sqcld 12272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
345	344	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
346		sqne0 12198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. CC -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
347	6, 346	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
348	8, 347	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
349	348	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
350	345, 275, 349	divcan2d 10318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) = ( t ^ 2 ) )
351	343, 350	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( t ^ 2 ) )
352	341, 351	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
353	340, 352	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
354	353	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
355	22, 301	sqrtsqd 13210	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
356	355	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
357	356	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
358	339, 354, 357	3eqtr3rd 2517	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
359	358	oveq2d 6298	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
360	283, 284, 359	3eqtrd 2512	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
361	274, 276, 360	3eqtr2d 2514	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
362	361	mpteq2dva 4533	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
363	268, 362	eqtrd 2508	1 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   -ucneg 9802   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025   abscabs 13026   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689  ℂ_fldccnfld 18191  TopOnctopon 19162   _D cdv 22002  arcsincasin 22921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-tan 13665  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673  df-asin 22924

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