Theorem areacirclem1 28437

Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
areacirclem1	|- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   t, R

Proof of Theorem areacirclem1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 9366	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( R e. RR+ -> RR e. { RR , CC } )
3		elioore 11322	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. RR )
4	3	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. CC )
5	4	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. CC )
6		rpcn 10991	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R e. CC )
7	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. CC )
8		rpne0 10998	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R =/= 0 )
9	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R =/= 0 )
10	5, 7, 9	divcld 10099	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. CC )
11		asincl 22243	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. CC -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
13		ax-1cn 9332	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. CC )
15	10	sqcld 11998	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. CC )
16	14, 15	subcld 9711	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. CC )
17	16	sqrcld 12915	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
18	10, 17	mulcld 9398	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
19	12, 18	addcld 9397	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
20		ovex 6111	. . . 4 |- ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) e. _V
21	20	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) e. _V )
22		rpre 10989	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
23	22	renegcld 9767	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR )
24	23	rexrd 9425	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR* )
25		rpxr 10990	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
26		elioo2 11333	. . . . . . . 8 |- ( ( -u R e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. RR )
29	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR )
30	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R =/= 0 )
31	28, 29, 30	redivcld 10151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t / R ) e. RR )
32	31	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) e. RR ) )
33	6	mulm1d 9788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
35	34	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u R < t ) )
36		neg1rr 10418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 e. RR
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> -u 1 e. RR )
38		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR+ )
39	37, 28, 38	ltmuldivd 11062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
40	35, 39	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
41	40	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t -> -u 1 < ( t / R ) ) )
42	41	adantrd 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> -u 1 < ( t / R ) ) )
43		1re 9377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
45	28, 44, 38	ltdivmuld 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) < 1 <-> t < ( R x. 1 ) ) )
46	6	mulid1d 9395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( R x. 1 ) = R )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R x. 1 ) = R )
48	47	breq2d 4299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < ( R x. 1 ) <-> t < R ) )
49	45, 48	bitr2d 254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R <-> ( t / R ) < 1 ) )
50	49	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R -> ( t / R ) < 1 ) )
51	50	adantld 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) < 1 ) )
52	32, 42, 51	3jcad 1169	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
53	52	exp4b 607	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) ) ) )
54	53	3impd 1201	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
55	27, 54	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
56	55	imp 429	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
57	36	rexri 9428	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR*
58	43	rexri 9428	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
59		elioo2 11333	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
60	57, 58, 59	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
61	56, 60	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
62		ovex 6111	. . . . 5 |- ( 1 / R ) e. _V
63	62	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. _V )
64		elioore 11322	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. RR )
65	64	recnd 9404	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. CC )
66		asincl 22243	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> (arcsin ` u ) e. CC )
67		id 22	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> u e. CC )
68	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> 1 e. CC )
69		sqcl 11920	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> ( u ^ 2 ) e. CC )
70	68, 69	subcld 9711	. . . . . . . . 9 |- ( u e. CC -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
71	70	sqrcld 12915	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
72	67, 71	mulcld 9398	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
73	66, 72	addcld 9397	. . . . . 6 |- ( u e. CC -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
74	65, 73	syl 16	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
75	74	adantl 466	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
76		ovex 6111	. . . . 5 |- ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
77	76	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
78		recn 9364	. . . . . . 7 |- ( t e. RR -> t e. CC )
79	78	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. CC )
80	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
81	2	dvmptid 21406	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
82		ioossre 11349	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) C_ RR
83	82	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) C_ RR )
84		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
85	84	tgioo2 20355	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
86		iooretop 20320	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) )
87	86	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
88	2, 79, 80, 81, 83, 85, 84, 87	dvmptres 21412	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> t ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> 1 ) )
89	2, 5, 14, 88, 6, 8	dvmptdivc 21414	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( t / R ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 1 / R ) ) )
90	65, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
91	90	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
92		ovex 6111	. . . . . . 7 |- ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
94		dvreasin 28435	. . . . . . 7 |- ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
95		asinf 22242	. . . . . . . . . 10 |- arcsin : CC --> CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> arcsin : CC --> CC )
97		ioossre 11349	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR
98		ax-resscn 9331	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
99	97, 98	sstri 3360	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC
100	99	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC )
101	96, 100	feqresmpt 5740	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) )
102	101	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) )
103	94, 102	syl5reqr 2485	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
104	65, 72	syl 16	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
105	104	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
106		ovex 6111	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) e. _V )
108	65	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> u e. CC )
109	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
110		recn 9364	. . . . . . . . 9 |- ( u e. RR -> u e. CC )
111	110	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> u e. CC )
112	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 1 e. CC )
113	2	dvmptid 21406	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> u ) ) = ( u e. RR |-> 1 ) )
114	97	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR )
115		iooretop 20320	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
117	2, 111, 112, 113, 114, 85, 84, 116	dvmptres 21412	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> u ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> 1 ) )
118	65, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
119	118	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
120		ovex 6111	. . . . . . . 8 |- ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
122	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. RR )
123	64	resqcld 12026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
124	122, 123	resubcld 9768	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR )
125		elioo2 11333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
126	57, 58, 125	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) )
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> u e. RR )
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> 1 e. RR )
129	127, 128	absltd 12908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
130	110	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR )
131	110	absge0d 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) )
132		0le1 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ 1 )
134	130, 128, 131, 133	lt2sqd 12034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) ) )
135		absresq 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
136		sq1 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
138	135, 137	breq12d 4300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) < 1 ) )
139		resqcl 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR )
140	139, 128	posdifd 9918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( u ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
141	134, 138, 140	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
142	129, 141	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
143	142	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
144	143	3impib 1185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
145	126, 144	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
146	124, 145	elrpd 11017	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
147	146	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
148		negex 9600	. . . . . . . . . 10 |- -u ( 2 x. u ) e. _V
149	148	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
150		rpcn 10991	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. RR+ -> v e. CC )
151	150	sqrcld 12915	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR+ -> ( sqr ` v ) e. CC )
152	151	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( sqr ` v ) e. CC )
153		ovex 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) e. _V
154	153	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) e. _V )
155	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> 1 e. CC )
156	110	sqcld 11998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. CC )
157	155, 156	subcld 9711	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
158	157	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
159	148	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
160		0re 9378	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 0 e. RR )
162	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> 1 e. CC )
163	2, 162	dvmptc 21407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> 1 ) ) = ( u e. RR |-> 0 ) )
164	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
165		ovex 6111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. u ) e. _V
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
167	84	cnfldtopon 20337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
168		toponmax 18508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
169	167, 168	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
170		df-ss 3337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC <-> ( RR i^i CC ) = RR )
171	98, 170	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR i^i CC ) = RR
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( RR i^i CC ) = RR )
173	69	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
174	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
175		2nn 10471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
176		dvexp 21402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. NN -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) )
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) )
178		2m1e1 10428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 - 1 ) = 1
179	178	oveq2i 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = ( u ^ 1 )
180		exp1 11863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. CC -> ( u ^ 1 ) = u )
181	179, 180	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. CC -> ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = u )
182	181	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. CC -> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) = ( 2 x. u ) )
183	182	mpteq2ia 4369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
184	177, 183	eqtri 2458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) ) )
186	84, 2, 169, 172, 173, 174, 185	dvmptres3 21405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 2 x. u ) ) )
187	2, 112, 161, 163, 164, 166, 186	dvmptsub 21416	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) ) )
188		df-neg 9590	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 2 x. u ) = ( 0 - ( 2 x. u ) )
189	188	mpteq2i 4370	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) )
190	187, 189	syl6eqr 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) )
191	2, 158, 159, 190, 114, 85, 84, 116	dvmptres 21412	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> -u ( 2 x. u ) ) )
192		dvsqr 22157	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) )
193	192	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) ) )
194		fveq2 5686	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( sqr ` v ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
195	194	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` v ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
196	195	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
197	2, 2, 147, 149, 152, 154, 191, 193, 194, 196	dvmptco 21421	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) )
198		2cnd 10386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 e. CC )
199	198, 65	mulneg2d 9790	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. -u u ) = -u ( 2 x. u ) )
200	199	oveq1d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
201	65	negcld 9698	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u u e. CC )
202	145	gt0ne0d 9896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 )
203	65, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
204	203	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
205		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 )
206	204, 205	sqr00d 12919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 )
207	206	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 ) )
208	207	necon3d 2641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) )
209	202, 208	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 )
210		2ne0 10406	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 =/= 0 )
212	201, 118, 198, 209, 211	divcan5d 10125	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
213	198, 65	mulcld 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. u ) e. CC )
214	213	negcld 9698	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( 2 x. u ) e. CC )
215	198, 118	mulcld 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
216	198, 118, 211, 209	mulne0d 9980	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
217	214, 215, 216	divrec2d 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) )
218	200, 212, 217	3eqtr3rd 2479	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
219	218	mpteq2ia 4369	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
220	197, 219	syl6eq 2486	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
221	2, 108, 109, 117, 119, 121, 220	dvmptmul 21410	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) )
222	2, 91, 93, 103, 105, 107, 221	dvmptadd 21409	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) )
223	118	mulid2d 9396	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
224	201, 118, 209	divcld 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
225	224, 65	mulcomd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
226	65, 201, 118, 209	divassd 10134	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
227	65, 65	mulneg2d 9790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u x. u ) )
228	65	sqvald 11997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) = ( u x. u ) )
229	228	negeqd 9596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) = -u ( u x. u ) )
230	227, 229	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u ^ 2 ) )
231	230	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
232	225, 226, 231	3eqtr2d 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
233	223, 232	oveq12d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
234	65	sqcld 11998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
235	234	negcld 9698	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) e. CC )
236	235, 118, 209	divcld 10099	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
237	118, 236	addcomd 9563	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
238	233, 237	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
239	238	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
240	118	2timesd 10559	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
241	68, 69	negsubd 9717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
242	70	sqsqrd 12917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
243	71	sqvald 11997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
244	241, 242, 243	3eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
245	65, 244	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
246	245	oveq1d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
247	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. CC )
248	247, 235, 118, 209	divdird 10137	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
249	118, 118, 209	divcan3d 10104	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
250	246, 248, 249	3eqtr3rd 2479	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
251	250	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
252	118, 209	reccld 10092	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
253	252, 236, 118	addassd 9400	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
254	240, 251, 253	3eqtrrd 2475	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
255	239, 254	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
256	255	mpteq2ia 4369	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
257	222, 256	syl6eq 2486	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
258		fveq2 5686	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> (arcsin ` u ) = (arcsin ` ( t / R ) ) )
259		id 22	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> u = ( t / R ) )
260		oveq1 6093	. . . . . . . 8 |- ( u = ( t / R ) -> ( u ^ 2 ) = ( ( t / R ) ^ 2 ) )
261	260	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( u = ( t / R ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
262	261	fveq2d 5690	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
263	259, 262	oveq12d 6104	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
264	258, 263	oveq12d 6104	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
265	262	oveq2d 6102	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
266	2, 2, 61, 63, 75, 77, 89, 257, 264, 265	dvmptco 21421	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) )
267	6	sqcld 11998	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. CC )
268	2, 19, 21, 266, 267	dvmptcmul 21413	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) )
269		2cnd 10386	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 2 e. CC )
270	269, 17	mulcld 9398	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
271	6, 8	reccld 10092	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( 1 / R ) e. CC )
272	271	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. CC )
273	270, 272	mulcomd 9399	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) = ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
274	273	oveq2d 6102	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
275	267	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
276	275, 272, 270	mulassd 9401	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
277	6	sqvald 11997	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) = ( R x. R ) )
278	277	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R x. R ) / R ) )
279	267, 6, 8	divrecd 10102	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) )
280	6, 6, 8	divcan3d 10104	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R x. R ) / R ) = R )
281	278, 279, 280	3eqtr3d 2478	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
282	281	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
283	282	oveq1d 6101	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
284	7, 269, 17	mul12d 9570	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
285	22	resqcld 12026	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR )
286	285	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
287	22	sqge0d 12027	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
288	287	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
289	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. RR )
290	3	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. RR )
291	22	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. RR )
292	290, 291, 9	redivcld 10151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. RR )
293	292	resqcld 12026	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
294	289, 293	resubcld 9768	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. RR )
295	160	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 e. RR )
296	28, 29	absltd 12908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( -u R < t /\ t < R ) ) )
297	78	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR )
298	297	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR )
299	78	absge0d 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) )
300	299	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) )
301		rpge0 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
302	301	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ R )
303	298, 29, 300, 302	lt2sqd 12034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
304		absresq 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
305	304	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
306	267	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
307	306	mulid1d 9395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
308	307	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) )
309	305, 308	breq12d 4300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
310	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. CC )
311	79, 310, 30	sqdivd 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
312	311	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 ) )
313	31	resqcld 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
314	313, 44	posdifd 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
315		resqcl 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
316	315	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
317		rpgt0 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
318	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 e. RR )
319		0le0 10403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 <_ 0
320	319	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ 0 )
321	318, 22, 320, 301	lt2sqd 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
322		sq0 11949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
323	322	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> ( 0 ^ 2 ) = 0 )
324	323	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
325	321, 324	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
326	317, 325	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. RR+ -> 0 < ( R ^ 2 ) )
327	285, 326	elrpd 11017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
328	327	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
329	316, 44, 328	ltdivmuld 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
330	312, 314, 329	3bitr3rd 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
331	303, 309, 330	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
332	296, 331	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
333	332	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
334	333	exp4b 607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
335	334	3impd 1201	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
336	27, 335	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
337	336	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
338	295, 294, 337	ltled 9514	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
339	286, 288, 294, 338	sqrmuld 12903	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
340	275, 14, 15	subdid 9792	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
341	275	mulid1d 9395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
342	5, 7, 9	sqdivd 12013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
343	342	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) )
344	4	sqcld 11998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
345	344	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
346		sqne0 11924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. CC -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
347	6, 346	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
348	8, 347	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
349	348	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
350	345, 275, 349	divcan2d 10101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) = ( t ^ 2 ) )
351	343, 350	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( t ^ 2 ) )
352	341, 351	oveq12d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
353	340, 352	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
354	353	fveq2d 5690	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
355	22, 301	sqrsqd 12898	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
356	355	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
357	356	oveq1d 6101	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
358	339, 354, 357	3eqtr3rd 2479	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
359	358	oveq2d 6102	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
360	283, 284, 359	3eqtrd 2474	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
361	274, 276, 360	3eqtr2d 2476	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
362	361	mpteq2dva 4373	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
363	268, 362	eqtrd 2470	1 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   {cpr 3874   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   ran crn 4836   |` cres 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   RR*cxr 9409   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   -ucneg 9588   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   ^cexp 11857   sqrcsqr 12714   abscabs 12715   TopOpenctopn 14352   topGenctg 14368  ℂ_fldccnfld 17793  TopOnctopon 18474   _D cdv 21313  arcsincasin 22232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-asin 22235

This theorem is referenced by:  areacirc  28442